曲面的主曲率与主方向

1. 首先从曲面的法曲率出发。在曲面上任意一点P，存在无穷多个通过该点的曲线。每条曲线在P点都有对应的曲率，称为法曲率。法曲率的计算方法是取曲线在P点的曲率向量在曲面法向量方向上的投影。

2. 根据欧拉公式，所有通过P点的曲线的法曲率值构成一个连续函数。这个函数可以表示为两个极值（最大值和最小值）的加权平均。这两个极值就是我们要讨论的主曲率，记作k₁和k₂。

3. 主曲率对应的方向称为主方向。在任意非脐点处（即两个主曲率不相等的点），存在两个相互垂直的主方向。这两个方向具有重要性质：沿主方向曲线的法曲率恰好等于主曲率，且曲线的切线方向与曲面的法曲率张量的特征方向一致。

4. 主曲率的计算可以通过曲面的第一基本形式和第二基本形式得到。具体来说，主曲率是方程(EG-F²)k² - (EN-2FM+GL)k + (LN-M²) = 0的根，其中E,F,G是第一基本形式的系数，L,M,N是第二基本形式的系数。

5. 主方向的计算则涉及求解微分方程。在参数曲面上，主方向满足方程：(EM-FL)du² + (EN-GL)dudv + (FN-GM)dv² = 0。解这个方程可以得到两个主方向场。

6. 主曲率和主方向具有重要的几何意义。高斯曲率K等于两个主曲率的乘积（K = k₁k₂），平均曲率H等于两个主曲率的算术平均值（H = (k₁+k₂)/2）。主方向构成了曲面上的一个正交标架，在研究曲面变形、应力分析等领域有重要应用。

7. 特别地，在脐点处（k₁ = k₂），所有方向都是主方向。球面上的每个点都是脐点，而平面上的每个点都是平点（k₁ = k₂ = 0）。