复变函数的黎曼ζ函数与素数分布 我们先从黎曼ζ函数的基本定义开始。在实数域中，ζ函数定义为： ζ(s) = ∑_ {n=1}^∞ 1/n^s，其中s>1 这个定义可以解析延拓到整个复平面（除了s=1处有一个简单极点），成为全复平面上的亚纯函数。 接下来考虑ζ函数与素数的联系。欧拉发现了著名的欧拉乘积公式： ζ(s) = ∏_ {p}(1-p^{-s})^{-1}，其中p取遍所有素数 这个公式建立了ζ函数与素数分布的基本联系，因为等式右边是遍历所有素数的无穷乘积。 黎曼在1859年的论文中进一步研究了ζ函数的性质，特别是： 函数方程：ζ(s) = 2^s π^{s-1} sin(πs/2) Γ(1-s) ζ(1-s) 这个函数方程建立了ζ(s)和ζ(1-s)之间的关系，体现了对称性。 平凡零点：ζ函数在负偶数处有零点，这些称为平凡零点。 非平凡零点：ζ函数在临界带0<Re(s) <1内的零点，这些零点关于临界线Re(s)=1/2对称分布。 黎曼猜想断言所有非平凡零点的实部都是1/2，这个猜想至今未被证明，是数学中最著名的问题之一。 ζ函数与素数分布的核心联系体现在显式公式中。设π(x)表示不超过x的素数个数，那么： π(x) = Li(x) - ∑_ ρ Li(x^ρ) - log2 + ∫_ x^∞ dt/[ t(t^2-1)log t ] 其中ρ取遍ζ函数的非平凡零点，Li(x)是对数积分。 从这个公式可以看出，素数分布完全由ζ函数的非平凡零点决定。零点的位置决定了素数分布的振荡特性，实部越大，振荡幅度越大。如果黎曼猜想成立，那么素数分布将具有最优的可能误差界。 最后，ζ函数理论在解析数论中有深远应用，比如素数定理： π(x) ~ x/log x (x→∞) 的证明就依赖于ζ函数在Re(s)=1上无零点这一事实。