模型论中的塔斯基真定义 1. 基本背景 在模型论中，我们需要精确描述数学语句在某个结构中的真值。塔斯基（Alfred Tarski）在1933年提出的真定义解决了"真"这一概念的严格数学化问题。其核心思想是通过递归定义，在对象语言和元语言之间建立桥梁，避免语义悖论。 2. 形式化准备 设L是一个一阶语言，包含常量符号、函数符号和谓词符号 令M是L的一个结构（即模型），定义域为M 需要先定义"赋值"概念：赋值函数σ将每个变量映射到M中的元素 定义项在模型M和赋值σ下的解释： 常量符号c解释为c^M 变量x解释为σ(x) 复合项f(t₁,...,tₙ)解释为f^M(t₁^M,...,tₙ^M) 3. 满足关系的递归定义 塔斯基真定义的核心是递归定义满足关系(M, σ) ⊨ φ： 原子公式：对于P(t₁,...,tₙ)，定义(M, σ) ⊨ P(t₁,...,tₙ)当且仅当(t₁^M,...,tₙ^M) ∈ P^M 等式：对于t₁ = t₂，定义(M, σ) ⊨ t₁ = t₂当且仅当t₁^M = t₂^M 逻辑连接词： (M, σ) ⊨ ¬φ 当且仅当 非(M, σ) ⊨ φ (M, σ) ⊨ φ∧ψ 当且仅当 (M, σ) ⊨ φ 且 (M, σ) ⊨ ψ 其他连接词类似定义 量词： (M, σ) ⊨ ∀xφ 当且仅当 对所有a ∈ M，(M, σ[ x↦a ]) ⊨ φ (M, σ) ⊨ ∃xφ 当且仅当 存在a ∈ M使得(M, σ[ x↦a ]) ⊨ φ 其中σ[ x↦a ]是将变量x映射到a，其他变量保持不变的赋值 4. 真值的定义 一个句子（不含自由变量的公式）φ在模型M中为真，记作M ⊨ φ，当且仅当对任意赋值σ，都有(M, σ) ⊨ φ。由于句子不依赖具体赋值，这个定义是良定义的。 5. 技术细节与重要性 塔斯基定义的关键创新是区分对象语言（被讨论的语言）和元语言（进行讨论的语言） 通过递归在公式的复杂度上进行，避免了像"说谎者悖论"这样的语义悖论 该定义要求模型M的域是一个集合（不能是真类），这是定义满足关系递归进行的基础 对于无穷理论，需要用到选择公理或等价形式来保证定义的合理性 6. 应用与影响 为模型论奠定了严格的基础 启发了后来哥德尔不完备定理的证明 在形式语义学、逻辑编程和程序验证中有广泛应用 推动了真理论（theory of truth）在分析哲学中的研究 这个定义的重要性在于它首次为"真"这一直观概念提供了完全严格的数学定义，成为现代逻辑学发展的里程碑。