可测函数序列的依测度收敛与几乎一致收敛的关系

让我为您详细讲解实变函数中这个重要的收敛关系。

第一步：基本概念回顾
首先需要明确两个基本概念：

1. 依测度收敛：设 {fₙ} 是可测函数序列，f 是可测函数。如果对任意 ε > 0，都有
   limₙ→∞ μ({x: |fₙ(x) - f(x)| ≥ ε}) = 0
   则称 fₙ 依测度收敛于 f

2. 几乎一致收敛：如果对任意 δ > 0，存在可测集 E 使得 μ(E) < δ，且在 Eᶜ 上 fₙ 一致收敛于 f

第二步：黎斯定理的核心内容
黎斯定理建立了这两种收敛之间的关系：

• 如果 fₙ 依测度收敛于 f，则存在子序列 {fₙₖ} 几乎一致收敛于 f
• 如果 fₙ 几乎一致收敛于 f，则 fₙ 依测度收敛于 f

第三步：第一个方向的详细证明
从依测度收敛推出存在几乎一致收敛的子序列：

1. 由依测度收敛定义，对每个 k ∈ ℕ，存在 nₖ 使得
   μ({x: |fₙₖ(x) - f(x)| ≥ 1/2ᵏ}) < 1/2ᵏ

2. 令 Eₖ = {x: |fₙₖ(x) - f(x)| ≥ 1/2ᵏ}，则 ∑μ(Eₖ) < ∞

3. 由博雷尔-坎泰利引理，μ(limsup Eₖ) = 0

4. 在 limsup Eₖ 的补集上，fₙₖ 一致收敛于 f

第四步：第二个方向的详细证明
从几乎一致收敛推出依测度收敛：

1. 对任意 ε > 0, δ > 0，由几乎一致收敛，存在 E 使得 μ(E) < δ，且在 Eᶜ 上 fₙ 一致收敛于 f

2. 由一致收敛，存在 N 使得当 n ≥ N 时，在 Eᶜ 上 |fₙ(x) - f(x)| < ε

3. 因此 {x: |fₙ(x) - f(x)| ≥ ε} ⊆ E，故 μ({x: |fₙ(x) - f(x)| ≥ ε}) ≤ μ(E) < δ

4. 由 δ 的任意性，得证依测度收敛

第五步：与其它收敛关系的比较

• 几乎处处收敛 ⇏ 依测度收敛（反例：滑动区间函数）
• 依测度收敛 ⇏ 几乎处处收敛
• 但依测度收敛 ⇒ 存在几乎处处收敛的子序列
• 几乎一致收敛 ⇒ 几乎处处收敛

第六步：应用实例
这个关系在证明极限交换、积分号下取极限等问题中非常有用，因为它允许我们在较弱的收敛条件下，通过选取子序列获得较强的收敛性质，从而简化证明过程。