复变函数的全纯自守形式 全纯自守形式是定义在复平面的某个区域上，并在某个离散群（称为自守群）作用下具有特定变换性质的解析函数。为了理解这一概念，我们将从基本定义开始，逐步深入探讨其性质、分类及重要性。 自守群与基本定义 自守群通常是一个离散子群，例如模群 SL(2,ℤ) 或其同余子群。一个函数 𝑓(𝑧) 称为权为 𝑘 的全纯自守形式，若满足： 全纯性 ：𝑓(𝑧) 在复上半平面 ℍ 上解析。 自守性 ：对任意 𝛾=[ [ 𝑎,𝑏],[ 𝑐,𝑑] ] ∈ Γ（自守群），有 𝑓(𝛾𝑧) = (𝑐𝑧+𝑑)ᵏ 𝑓(𝑧)，其中 𝛾𝑧 = (𝑎𝑧+𝑏)/(𝑐𝑧+𝑑)。 增长条件 ：𝑓(𝑧) 在尖点（如 𝑖∞）处有多项式增长，即其傅里叶展开无负幂次项。 模形式与尖点形式 若 𝑓(𝑧) 在尖点处为零（即傅里叶展开常数项为零），则称为 尖点形式 。权为 𝑘 的模形式是满足上述条件的全纯自守形式，其傅里叶展开为 𝑓(𝑧) = ∑_ {𝑛=0}∞ 𝑎ₙ 𝑒²π𝑖𝑛𝑧，且 𝑎₀=0 时为尖点形式。 关键性质与例子 艾森斯坦级数 ：经典的模形式例子，如权为 𝑘 的级数 𝐸ₖ(𝑧) = ∑_ {(𝑚,𝑛)∈ℤ²\{(0,0)}} (𝑚𝑧+𝑛)⁻ᵏ，其在 𝑘>2 时收敛。 拉马努金Δ函数 ：权为12的尖点形式，Δ(𝑧) = 𝑒²π𝑖𝑧 ∏_ {𝑛=1}∞ (1−𝑒²π𝑖𝑛𝑧)²⁴，是模形式理论的核心对象。 应用与推广 全纯自守形式在数论（如模性定理证明费马大定理）、表示论和数学物理中具有深远影响。进一步推广包括： 非全纯自守形式 ：允许极点的亚纯自守形式。 高阶自守形式 ：满足更复杂函数方程的形式，如马什形式。 通过以上步骤，全纯自守形式从基本的变换性质延伸到深层的数论与几何联系，成为现代数学的核心工具之一。