随机规划中的序贯决策与分布式学习

1. 基本概念关联
   在随机规划中，序贯决策要求决策者根据逐步获得的信息动态调整策略。分布式学习则强调多个计算单元通过局部协作共同解决优化问题。二者的结合旨在处理大规模随机系统中，决策节点分散且信息局部可观测的场景。

2. 分布式学习的核心形式

   • 网络结构：系统由多个智能体（节点）构成，通过通信网络交换信息。每个节点仅能获取局部观测数据，并维护自身的决策变量。
   • 协作目标：最小化全局期望损失函数，即所有节点局部目标函数的加权平均，同时满足耦合约束或全局约束。

3. 序贯决策的分布式实现

   • 每个时间步，节点基于本地观测和接收的邻域信息更新决策。
   • 采用分布式随机梯度法：节点并行计算本地随机梯度，通过加权平均融合邻域信息，确保渐近收敛到全局最优。
   • 例如：

\[ x_i^{(k+1)} = \sum_{j \in \mathcal{N}_i} w_{ij} x_j^{(k)} - \alpha_k \nabla F_i(x_i^{(k)}; \xi_i^{(k)}) \]

其中 \(w_{ij}\) 为网络权重矩阵元素，\(\xi_i^{(k)}\) 为本地随机样本。

4. 挑战与解决方案

   • 通信延迟：采用异步更新协议，允许节点以非统一频率通信。
   • 数据异质性：通过梯度跟踪技术（如EXTRA算法）修正节点间的目标差异。
   • 随机性影响：动态调整步长 \(\alpha_k\)，满足 Robbins-Monro 条件（\(\sum \alpha_k = \infty, \sum \alpha_k^2 < \infty\)）。

5. 理论保证

   • 在目标函数强凸且梯度方差有界的假设下，算法几乎必然收敛到全局最优解。
   • 收敛速率通常为 \(O(1/\sqrt{k})\)（非强凸）或 \(O(1/k)\)（强凸），受网络拓扑的代数连通性影响。

6. 应用场景

   • 智能电网中分布式发电单元的实时调度
   • 无线传感器网络的协同目标跟踪
   • 多智能体强化学习中的策略协同优化