局部波动率模型（Local Volatility Model）

局部波动率模型是一个用于期权定价的确定性波动率框架，它假设资产价格的波动率是资产价格和时间的一个确定性函数，即σ(S,t)。这个模型的关键创新在于，它能够精确匹配市场上观察到的所有执行价格和到期日的期权价格，从而完全拟合隐含波动率曲面。

1. 背景与动机

   • 在布莱克-斯科尔斯模型中，波动率被假设为常数。然而，实际市场中，不同执行价格和到期日的期权显示出不同的隐含波动率，形成所谓的"波动率微笑"或"波动率偏斜"。这表明常数波动率假设不符合市场现实。
   • 局部波动率模型由Dupire（1994）、Derman和Kani（1994）独立提出，解决了常数波动率的局限性。其核心思想是：存在一个与时间和资产价格相关的确定性波动率函数σ(S,t)，使得使用这个函数定价的所有欧式期权价格都与市场价格一致。

2. 理论基础：Dupire方程

   • 假设风险中性条件下，资产价格S遵循扩散过程：dS = rS dt + σ(S,t)S dW，其中r是无风险利率（假设常数），W是标准布朗运动。
   • Dupire推导出一个正向偏微分方程（称为Dupire方程），将看涨期权价格C(K,T)（执行价K，到期日T）与局部波动率函数联系起来：
     ∂C/∂T = (1/2)σ²(K,T)K²(∂²C/∂K²) - rK(∂C/∂K)
   • 通过变换，可得局部波动率函数的显式表达式：
     σ²(K,T) = 2[∂C/∂T + rK(∂C/∂K)] / [K²(∂²C/∂K²)]
   • 这个公式允许从连续的执行价格和到期日的期权市场价格中直接计算局部波动率。

3. 模型校准

   • 由于市场数据是离散的，校准局部波动率模型需要数值方法：
     a. 从市场获取欧式期权的隐含波动率数据，构建完整的隐含波动率曲面。
     b. 使用插值和外推方法（如样条插值）得到连续的隐含波动率函数σ_imp(K,T)。
     c. 通过布莱克-斯科尔斯公式将隐含波动率转换为期权价格C(K,T)。
     d. 计算Dupire公式中的偏导数（使用有限差分法），得到局部波动率函数σ(S,t)。
   • 校准过程对数据平滑性敏感，因为二阶导数∂²C/∂K²（与期权Gamma相关）的估计噪声会被放大。

4. 数值实现方法

   • 局部波动率模型通常用有限差分法或树方法求解：
     a. 有限差分法：直接求解与局部波动率对应的偏微分方程：
     ∂V/∂t + (1/2)σ²(S,t)S²(∂²V/∂S²) + rS(∂V/∂S) - rV = 0
     b. 二叉树/三叉树：Derman和Kani提出了隐含二叉树方法，其中节点过渡概率由局部波动率确定，确保树结构与市场期权价格一致。
     c. 蒙特卡洛模拟：模拟资产路径：dS = rS dt + σ(S,t)S dW，但需要处理路径依赖的波动率。

5. 应用与局限性

   • 应用：
     • 为奇异期权（如障碍期权、亚式期权）提供一致无套利定价。
     • 动态对冲：计算Delta、Gamma等希腊字母时考虑波动率随价格的变化。
     • 风险管理：评估波动率曲面变动对衍生品组合的影响。
   • 局限性：
     • 动态一致性问题：假设波动率是资产价格和时间的确定性函数，意味着未来波动率完全由未来价格决定，这与实际市场中波动率作为独立随机因素的现象不符。
     • 稳定性问题：Dupire公式对输入价格敏感，市场数据的微小误差可能导致局部波动率估计大幅波动。
     • 预测能力：校准得到的局部波动率函数可能在未来期间不准确，因为它主要拟合当前市场数据，而非建模波动率的动态演化。

6. 扩展与比较

   • 局部波动率模型是随机波动率模型的特例（当波动率风险的市场价格为0时）。
   • 与随机波动率模型（如Heston模型）比较：局部波动率模型完全拟合当前波动率曲面，但无法捕捉波动率的随机性；随机波动率模型允许波动率随机变化，但可能无法完美拟合整个波动率曲面。
   • 现代模型常将局部波动率与随机波动率结合，如局部随机波动率模型，以兼顾拟合精度和动态合理性。