平行曲面的高斯曲率不变性 平行曲面是通过将原曲面沿法线方向平移固定距离构造的新曲面。设原曲面为 \( S \)，其单位法向量场为 \( \mathbf{n} \)，则平行曲面 \( S_ d \) 定义为： \[ S_ d: \mathbf{p}_ d = \mathbf{p} + d \mathbf{n}, \] 其中 \( d \) 为常数。以下逐步分析高斯曲率的不变性： 曲面的基本形式 原曲面 \( S \) 的第一基本形式为 \( \mathrm{I} = E\mathrm{d}u^2 + 2F\mathrm{d}u\mathrm{d}v + G\mathrm{d}v^2 \)，第二基本形式为 \( \mathrm{II} = L\mathrm{d}u^2 + 2M\mathrm{d}u\mathrm{d}v + N\mathrm{d}v^2 \)。高斯曲率 \( K \) 由第二类基本量决定： \[ K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}. \] 平行曲面的基本形式 对 \( \mathbf{p}_ d \) 求偏导： \[ \frac{\partial \mathbf{p}_ d}{\partial u} = \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u} + d \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u}, \quad \frac{\partial \mathbf{p}_ d}{\partial v} = \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v} + d \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial v}. \] 通过韦因加滕公式 \( \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial u} = -L \mathbf{p}_ u - M \mathbf{p} v \)（及类似表达式），代入得： \[ \mathbf{p} {d,u} = (1 - d k_ 1) \mathbf{p} u, \quad \mathbf{p} {d,v} = (1 - d k_ 2) \mathbf{p}_ v \quad (\text{在主方向坐标系下}), \] 其中 \( k_ 1, k_ 2 \) 为主曲率。此时第一基本形式的系数变为： \[ E_ d = (1 - d k_ 1)^2 E, \quad F_ d = 0, \quad G_ d = (1 - d k_ 2)^2 G. \] 平行曲面的第二基本形式 平行曲面的单位法向量 \( \mathbf{n} d = \mathbf{n} \)。计算第二基本形式的系数： \[ L_ d = -\mathbf{p} {d,u} \cdot \mathbf{n}_ {d,u} = (1 - d k_ 1) L, \quad N_ d = (1 - d k_ 2) N, \quad M_ d = 0. \] 高斯曲率的计算 代入高斯曲率公式： \[ K_ d = \frac{L_ d N_ d - M_ d^2}{E_ d G_ d - F_ d^2} = \frac{(1 - d k_ 1)(1 - d k_ 2) LN}{(1 - d k_ 1)^2 (1 - d k_ 2)^2 EG} = \frac{LN}{EG} = K. \] 这表明平行曲面的高斯曲率与原曲面相同。 几何意义 高斯曲率由内蕴几何决定，与曲面在空间中的嵌入方式无关。平移变换不改变曲面的内蕴度量结构，因此高斯曲率保持不变。 总结：平行曲面的构造仅通过法向平移实现，不改变曲面的内蕴几何性质，故高斯曲率不变。