随机波动率模型的傅里叶展开方法（Fourier Expansion Methods for Stochastic Volatility Models） 随机波动率模型的核心挑战 随机波动率模型（如Heston模型）通过假设资产波动率本身是随机过程，更真实地刻画市场波动特征。这类模型的定价偏微分方程通常无解析解，而数值方法（如蒙特卡洛或有限差分法）计算成本较高。傅里叶展开方法的核心思想是将期权价格表示为特征函数的积分形式，利用快速傅里叶变换（FFT）实现高效计算。 特征函数与定价积分表示 在风险中性测度下，资产对数价格 \( x_ T = \ln S_ T \) 的特征函数定义为： \[ \phi(u) = \mathbb{E}[ e^{i u x_ T} ] \] 例如Heston模型的特征函数有闭合形式。通过傅里叶逆变换，看涨期权价格可表示为： \[ C = S_ 0 \Pi_ 1 - K e^{-rT} \Pi_ 2 \] 其中 \(\Pi_ 1, \Pi_ 2\) 是概率项，可通过特征函数积分计算： \[ \Pi_ j = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \int_ 0^\infty \Re\left[ \frac{e^{-i u \ln K} \phi_ j(u)}{i u} \right ] du \] 傅里叶余弦展开（COS方法） 该方法将期权价值的傅里叶积分转化为余弦级数展开： 首先将对数价格密度函数 \( f(x) \) 在区间 \([ a,b ]\) 展开为余弦级数： \[ f(x) \approx \sum_ {k=0}^{N-1} ' F_ k \cos\left( k\pi \frac{x-a}{b-a} \right) \] 其中系数 \( F_ k = \frac{2}{b-a} \Re\left[ \phi\left( \frac{k\pi}{b-a} \right) e^{-i k\pi \frac{a}{b-a}} \right ] \) 由特征函数直接计算。 期权价格最终表示为： \[ V \approx e^{-rT} \sum_ {k=0}^{N-1} ' F_ k \cdot U_ k \] 这里 \( U_ k \) 为期权支付函数的余弦系数，对欧式看涨期权有解析表达式。 计算效率与适用范围 指数收敛性 ：当密度函数光滑时，COS方法仅需少量项（如128项）即可达到机器精度。 多资产扩展 ：通过张量积构造高维余弦展开，可处理多资产随机波动率模型。 应用场景 ：适用于Heston、Bates等具有显式特征函数的模型，对障碍期权等路径依赖衍生品需结合辅助变量。 数值实现要点 积分截断区间 \([ a,b]\) 需通过累积量（如 \( a = c_ 1 - L\sqrt{c_ 2}, b = c_ 1 + L\sqrt{c_ 2} \)）合理选择，其中 \( c_ n \) 是阶累积量，\( L=10 \) 通常足够。 系数 \( F_ k \) 的计算可复用特征函数，避免重复数值积分。 与蒙特卡洛对比：在相同精度下，COS方法速度可提升数十至数百倍。