复变函数的黎曼球面与球极投影 我们先从直观概念开始理解。在复分析中，复平面 ℂ 是研究解析函数的基本区域，但有时需要考虑"无穷远点"的概念。为了严格处理这一点，数学家引入了黎曼球面——将复平面与一个球面建立对应关系。 第一步：黎曼球面的构造 想象一个在三维空间中与复平面相切的球面（比如在原点 (0,0,0) 处与复平面相切）。这个单位球面称为黎曼球面，记作 𝕊²。球面的北极点 N = (0,0,1) 和南极点 S = (0,0,-1) 具有特殊意义。 第二步：球极投影的定义 球极投影建立了复平面与黎曼球面（去掉北极点）之间的一一对应： 对于复平面上任意点 z = x + iy，连接北极点 N 与点 (x,y,0) 的直线会与球面交于另一点 P 这个对应关系可以通过具体公式表达： 设复平面上的点 z = x + iy，对应球面上的点 P = (X,Y,Z) 通过几何关系可得：X = z/(1+|z|²)，Y = z/(1+|z|²)，Z = |z|²/(1+|z|²) 或者用复数形式：P = (z + z̄)/(1+|z|²), (z - z̄)/[ i(1+|z|²) ], (|z|² - 1)/(|z|² + 1) 第三步：无穷远点的引入 球极投影的关键优势在于： 当 |z| → ∞ 时，对应的球面上的点 P 趋近于北极点 N 因此，我们可以将北极点 N 定义为"无穷远点"，记作 ∞ 这样，扩充复平面 ℂ ∪ {∞} 就与整个黎曼球面建立了一一对应 第四步：度量结构——球面度量 在黎曼球面上，两点之间的距离用球面上的弦长来度量，这诱导出扩充复平面上的弦度量： d(z₁, z₂) = 2|z₁ - z₂|/√[ (1+|z₁|²)(1+|z₂|²) ] d(z, ∞) = 2/√(1+|z|²) 这个度量使得黎曼球面成为紧致度量空间。 第五步：复坐标卡 黎曼球面作为一维复流形，有两个坐标卡： 在 ℂ 上：使用恒同映射 z ↦ z 在 ℂ\{0} ∪ {∞} 上：使用坐标 w = 1/z 坐标变换 w = 1/z 在重叠区域 ℂ\{0} 上是全纯的，这保证了黎曼球面是一维复流形。 第六步：在复分析中的应用 莫比乌斯变换在黎曼球面上成为自同构：形如 f(z) = (az+b)/(cz+d) 的变换可以自然地延拓到 ∞ 亚纯函数可以视为从黎曼球面到黎曼球面的全纯映射 复分析中的许多定理在黎曼球面上有更简洁的表述 黎曼球面的引入不仅提供了处理无穷远点的严格框架，还揭示了复分析与微分几何之间的深刻联系，是理解复分析全局性质的重要工具。