幂零群

幂零群是群论中一类重要的可解群，具有丰富的代数结构和几何意义。让我从基础概念开始，逐步深入讲解。

1. 群的中心

   • 对于任意群G，其中心Z(G)定义为所有与G中每个元素都可交换的元素组成的子群
   • 即Z(G) = {g∈G | gh=hg, ∀h∈G}
   • 中心Z(G)总是G的正规子群，且商群G/Z(G)有定义

2. 中心列

   • 幂零群的核心特征是具有中心列
   • 定义中心列：1 = Z₀ ≤ Z₁ ≤ ⋯ ≤ Zₙ = G，其中Zᵢ₊₁/Zᵢ是G/Zᵢ的中心
   • 等价地，[G, Zᵢ₊₁] ≤ Zᵢ，其中[G, Zᵢ₊₁]表示换位子群

3. 幂零群的定义

   • 如果存在有限中心列，则称G为幂零群
   • 最小可能的中心列长度称为幂零类
   • 特别地，幂零类为1的群就是阿贝尔群

4. 下中心列

   • 定义γ₁(G) = G
   • 递归定义γᵢ₊₁(G) = [γᵢ(G), G]
   • 如果存在n使得γₙ₊₁(G) = 1，则G是幂零群
   • 这样的n就是G的幂零类

5. 上中心列

   • 定义Z₀(G) = 1
   • 递归定义Zᵢ₊₁(G)为G中在G/Zᵢ(G)中心中的元素的原像
   • 幂零群的上中心列最终达到整个群G

6. 有限幂零群的结构

   • 有限群是幂零群当且仅当它是其Sylow子群的直积
   • 这意味着有限幂零群可以完全由其Sylow p-子群描述
   • 这一性质在有限群分类中极为重要

7. 幂零群的性质

   • 所有幂零群都是可解群
   • 幂零群的子群和商群仍是幂零群
   • 有限幂零群满足正规化子条件：真子群的正规化子严格包含该子群

8. 幂零群与p-群

   • 所有有限p-群都是幂零群
   • p-群的幂零类与群的结构密切相关
   • 类为1的p-群就是初等阿贝尔p-群

9. 幂零群的推广

   • 超特殊群：幂零类为2的p-群，其导群和中心重合且为p阶循环群
   • 幂零群可以视为阿贝尔群与幂零类更高级别群之间的插值

幂零群在几何、数论和表示论中都有重要应用，特别是作为可解群与单群之间的桥梁，在研究群的结构分类中扮演关键角色。