平行轴定理在三维刚体中的推广 平行轴定理描述了刚体转动惯量与转轴位置的关系。让我们从基础概念开始，逐步深入理解这个重要定理。 1. 转动惯量的基本概念 转动惯量是衡量刚体绕特定轴旋转时惯性大小的物理量。对于质量为m的质点，绕轴距离为r时，转动惯量定义为I=mr²。对于连续刚体，需对所有质量元积分：I=∫r²dm，其中r是质量元dm到转轴的垂直距离。 2. 二维平面内的平行轴定理 考虑质量为m的刚体，绕通过质心的轴（质心轴）的转动惯量为I_ c。若另有一轴与质心轴平行，两轴间距离为d，则绕新轴的转动惯量为：I=I_ c+md²。这个关系表明，绕任意平行轴的转动惯量等于绕质心轴的转动惯量加上质量与轴间距平方的乘积。 3. 三维空间中的推广 在三维情况下，平行轴定理需要更精确的表述。设质心在坐标系原点，质心轴的转动惯量为I_ c。对于平行于质心轴且通过点P的新轴，位置向量为d=(d₁,d₂,d₃)，则绕新轴的转动惯量为：I=I_ c+m(d₁²+d₂²+d₃²-d₀²)，其中d₀是P点到质心轴的垂直距离。 4. 张量形式的完整表述 最一般的表述使用惯性张量。惯性张量J是3×3对称矩阵，描述刚体绕不同轴旋转的惯性特性。设质心处的惯性张量为J_ c，则关于点P的惯性张量为：J_ P=J_ c+m(||d||²E₃-ddᵀ)，其中E₃是3×3单位矩阵，d是质心到P点的向量，ddᵀ是d与其转置的外积。 5. 实际应用示例 考虑一个均匀实心球体，质量为m，半径为R。绕通过球心的任意轴，转动惯量为I_ c=(2/5)mR²。若转轴平行移动距离d，新转动惯量为I=(2/5)mR²+md²。这个结果在工程中分析旋转机械的动力学特性时有重要应用。 6. 垂直轴定理的补充 对于薄平板状物体，存在垂直轴定理：I_ z=I_ x+I_ y，其中x、y轴在平板平面内，z轴垂直平板。结合平行轴定理，能完整描述薄板绕不同轴的转动特性。 平行轴定理的推广形式为分析复杂三维刚体的旋转运动提供了理论基础，在机械工程、航空航天等领域有广泛应用。