复变函数的柯西型积分与奇异积分方程 我们先从柯西型积分的定义开始。设 \( L \) 是复平面上一条光滑或分段光滑的曲线（可以是开口弧段或封闭围道），函数 \( f(\tau) \) 在 \( L \) 上满足某种可积条件（例如赫尔德条件）。柯西型积分定义为 \[ F(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ L \frac{f(\tau)}{\tau - z} \, d\tau, \quad z \notin L. \] 当 \( z \) 不在 \( L \) 上时，被积函数在 \( L \) 上解析，因此 \( F(z) \) 在 \( \mathbb{C} \setminus L \) 上解析。特别地，如果 \( L \) 是封闭围道且 \( f \) 在 \( L \) 上连续，则 \( F(z) \) 在 \( L \) 的外部区域也解析，并且在无穷远处趋于零。 接下来考虑 \( z \) 趋近于 \( L \) 上一点 \( t_ 0 \) 时的边界性质。设 \( f \) 在 \( L \) 上满足赫尔德条件，即存在常数 \( A > 0 \) 和 \( 0 < \alpha \le 1 \)，使得对 \( L \) 上任意两点 \( t_ 1, t_ 2 \) 有 \( |f(t_ 1) - f(t_ 2)| \le A |t_ 1 - t_ 2|^\alpha \)。则柯西型积分在 \( t_ 0 \) 处有著名的 Plemelj 公式： \[ F^+(t_ 0) = \frac{1}{2} f(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \int_ L \frac{f(\tau)}{\tau - t_ 0} \, d\tau, \] \[ F^-(t_ 0) = -\frac{1}{2} f(t_ 0) + \frac{1}{2\pi i} \int_ L \frac{f(\tau)}{\tau - t_ 0} \, d\tau, \] 其中 \( F^+(t_ 0) \) 和 \( F^-(t_ 0) \) 分别表示当 \( z \) 从 \( L \) 的正侧和负侧趋近于 \( t_ 0 \) 时的极限值，积分是柯西主值意义下的奇异积分。这两个公式表明，柯西型积分在边界上产生一个跳跃 \( F^+(t_ 0) - F^-(t_ 0) = f(t_ 0) \)。 现在考虑奇异积分方程。以第一类奇异积分方程为例： \[ a(t) \varphi(t) + \frac{b(t)}{\pi i} \int_ L \frac{\varphi(\tau)}{\tau - t} \, d\tau = g(t), \quad t \in L, \] 其中 \( a(t), b(t), g(t) \) 是 \( L \) 上已知函数，\( \varphi(t) \) 是未知函数，积分是柯西主值积分。这类方程可通过引入柯西型积分 \( \Phi(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_ L \frac{\varphi(\tau)}{\tau - z} \, d\tau \) 转化为边界值问题。利用 Plemelj 公式，原方程可写为 \[ a(t)[ \Phi^+(t) + \Phi^-(t)] + b(t)[ \Phi^+(t) - \Phi^-(t) ] = g(t), \] 即 \[ [ a(t) + b(t)] \Phi^+(t) + [ a(t) - b(t) ] \Phi^-(t) = g(t). \] 这是一个黎曼-希尔伯特问题，可通过标准化方法求解。 最后讨论指标理论。定义函数 \( G(t) = \frac{a(t) - b(t)}{a(t) + b(t)} \)，并假设 \( a(t) \pm b(t) \) 在 \( L \) 上不为零。则指标（index）定义为 \[ \kappa = \frac{1}{2\pi} [ \arg G(t)]_ L, \] 其中 \( [ \arg G(t)]_ L \) 表示 \( G(t) \) 沿 \( L \) 的幅角变化量。指标 \( \kappa \) 决定了方程解的存在性和唯一性：当 \( \kappa \ge 0 \) 时，方程有 \( \kappa + 1 \) 个线性无关解；当 \( \kappa < 0 \) 时，方程仅在 \( -(\kappa + 1) \) 个可解条件下有解。