信用违约互换价差期权的傅里叶变换定价法

1. 傅里叶变换在金融定价中的基本原理
   傅里叶变换是一种将函数从时域（或价格域）映射到频域的数学工具。在金融衍生品定价中，它的核心价值在于：通过特征函数解析推导期权价格。特征函数是随机变量概率分布的傅里叶变换，对于资产价格过程 \(S_T\)（如信用价差），其特征函数定义为：

\[ \phi(u) = \mathbb{E}\left[e^{iu \ln S_T}\right] \]

其中 \(u\) 是频域变量。这一形式避免了直接处理复杂概率密度函数，转而利用频域积分计算期权价格。

2. 信用违约互换价差期权的定价挑战
   信用违约互换价差期权（CDS Spread Option）的标的变量是未来某时刻的CDS价差，其分布通常非对数正态且可能存在尖峰厚尾特性。传统解析方法（如Black模型）在此失效，而傅里叶变换法通过以下步骤实现定价：

   • 将期权支付函数（如 \(\max(S_T - K, 0)\)）分解为频域表达式
   • 利用特征函数计算期望值，避免对概率密度函数直接积分

3. 傅里叶反演公式与期权定价
   以看涨期权为例，其价格可表示为：

\[ C = e^{-rT} \int_K^{\infty} (S_T - K) f(S_T) dS_T \]

其中 \(f(S_T)\) 是价差的概率密度函数。通过引入傅里叶变换，将积分转化为频域计算：

\[ C = \frac{e^{-rT}}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\phi(u-i)}{iu+1} e^{-iu \ln K} du \]

这里需注意特征函数的解析性条件（如阻尼因子 \(iu+1\) 保证积分收敛）。

4. 数值实现方法：快速傅里叶变换（FFT）
   为高效计算频域积分，采用FFT算法：
   • 离散化频域网格 \(u_j = j\eta\) 和价差对数网格 \(x_m = m\delta\)
   • 通过FFT同时计算多个执行价格对应的期权值
   • 调节阻尼参数 \(\alpha\) 确保积分收敛，最终价格表示为：

\[ C(K) \approx \frac{e^{-\alpha \ln K}}{\pi} \sum_{j=0}^{N-1} e^{-iu_j \ln K} \psi(u_j) \eta \]

其中 \(\psi(u)\) 是阻尼期权支付的傅里叶变换。

5. 在信用价差模型中的具体应用
   假设价差过程服从随机波动率模型（如Heston扩展）：

   • 推导价差对数特征函数的解析表达式
   • 校准模型参数至市场CDS价差期权价格
   • 通过FFT生成完整波动率微笑，捕捉价差的尾部风险

6. 与传统方法的对比优势

   • 相比蒙特卡洛模拟：计算速度提升数十倍
   • 相比树形方法：避免网格维度灾难，尤其适用于多因子模型
   • 可统一处理欧式信用价差期权、数字期权等衍生品

7. 实践注意事项

   • 特征函数需满足正则性条件（如Heston模型需避免分支截断）
   • 阻尼因子选择需平衡数值稳定性与精度
   • 对于长期限期权，需验证特征函数在复平面的衰减性