量子力学中的Borel函数演算

Borel函数演算是一套将自伴算子的谱理论推广到更广泛函数类的数学方法。让我们从基础概念开始逐步展开：

1. 自伴算子的谱分解
   设A是希尔伯特空间H上的自伴算子，根据谱定理，存在唯一的谱测度E使得：
   A = ∫ℝ λ dE(λ)
   其中积分在谱的意义下收敛。谱测度E将博雷尔集B ⊆ ℝ映射到投影算子E(B)上。

2. 多项式函数演算
   对多项式p(x)=∑aₖxᵏ，定义：
   p(A) = ∑aₖAᵏ
   这给出了从多项式到算子的代数同态。

3. 连续函数演算
   通过维尔斯特拉斯逼近定理，可将上述构造延拓到连续函数。对f∈C(σ(A))，定义：
   f(A) = ∫σ(A) f(λ) dE(λ)
   满足‖f(A)‖ ≤ sup{|f(λ)| : λ∈σ(A)}

4. 博雷尔函数类的引入
   考虑σ(A)上的有界博雷尔函数B∞(σ(A))。对任意φ∈B∞，定义：
   φ(A) = ∫σ(A) φ(λ) dE(λ)
   这是一个*-同态：B∞(σ(A)) → L(H)

5. 代数性质
   Borel函数演算保持以下运算：

   • (φ+ψ)(A) = φ(A)+ψ(A)
   • (φψ)(A) = φ(A)ψ(A)
   • φ̅(A) = φ(A)*
   • 若φ≡1，则φ(A)=I

6. 收敛性保持
   若{φₙ}一致有界且逐点收敛到φ，则对任意ψ∈H：
   φₙ(A)ψ → φ(A)ψ（强算子拓扑）

7. 应用意义
   在量子力学中，这允许我们定义：

   • 指数函数：e^{itA} 给出时间演化群
   • 特征函数：χ_B(A) 对应测量值在B中的投影
   • 更一般的可观测量函数

这个理论为量子力学中各种算子函数的严格定义提供了数学基础，特别是在微扰理论和散射理论中有重要应用。