数学课程设计中的数学化（Mathematising）过程教学

数学化（Mathematising）是数学教育的核心过程，指将现实情境或非形式化问题转化为数学形式（如符号、模型、关系）的思维活动。在课程设计中，这一过程的教学需分阶段推进：

1. 情境感知与问题识别

   • 引导学生从生活情境（如购物折扣、地图比例）中识别数学元素
   • 通过提问启发学生剥离非数学信息（如情感描述、无关细节）
   • 例：设计"规划校园植树方案"任务，让学生提取"树间距-总面积-数量"的量化关系

2. 初步数学模型建构

   • 训练学生用数学语言描述现象（如用"变量"表示变化的数量）
   • 指导建立初步数学关系：
     • 具象阶段：用实物图示表示数量对应
     • 过渡阶段：发明临时符号记录规律（如△+○=10）
     • 形式阶段：引入标准符号系统（设未知数x,y）

3. 数学工具选择与优化

   • 根据问题特征匹配数学工具：
     • 离散问题→整数、组合数学
     • 连续变化→函数、微积分
     • 随机事件→概率统计
   • 对比不同表征形式的优劣（如方程 vs. 图表）

4. 模型求解与数学化反思

   • 强调数学运算的现实约束（如结果为小数时需取整处理）
   • 组织模型校验活动：
     • 回溯验证（结果是否吻合初始情境）
     • 敏感度分析（参数微小变动对结果的影响）
   • 引导总结数学化经验（如"比例问题优先考虑量纲统一"）

5. 数学化能力迁移训练

   • 设计渐进式任务序列：
     • 平行迁移（同类问题不同情境）
     • 纵向迁移（简单模型到复杂模型）
   • 通过"数学日记"记录建模思路，培养元认知监控能力

此过程需嵌入螺旋式课程，在小学阶段侧重具体操作数学化，中学阶段发展形式化建模，大学阶段强化公理化表达。每个阶段应配备锚定式教学案例，如费马点问题数学化过程可展示几何问题如何转化为优化模型。