复变函数的广义残数定理 我们先从最基础的复积分开始理解。设 \( f(z) \) 是在区域 \( D \) 上除有限个孤立奇点外全纯的函数，\( C \) 是 \( D \) 内一条可求长的简单闭曲线，其内部包含 \( f \) 的若干奇点 \( z_ 1, z_ 2, \dots, z_ n \)。经典的留数定理指出： \[ \oint_ C f(z) \, dz = 2\pi i \sum_ {k=1}^n \operatorname{Res}(f, z_ k), \] 其中 \( \operatorname{Res}(f, z_ k) \) 是 \( f \) 在 \( z_ k \) 处的留数。这个定理适用于计算围绕有限个孤立奇点的积分。 然而，当被积函数在积分路径上也有奇点时（例如瑕积分），或者奇点分布更复杂时，经典留数定理无法直接应用。为此，我们发展出广义残数定理。 考虑函数 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内除有限个奇点外全纯，但在边界 \( \partial D \) 上可能有奇点。若 \( f \) 在边界附近满足某种可积条件（例如 \( |f(z)| \le M/|z-z_ 0|^\alpha \) 且 \( \alpha < 1 \)），我们可以通过取极限将积分转化为广义积分，并利用留数计算。具体来说，若 \( D \) 是由简单闭曲线围成的区域，且 \( f \) 在 \( \partial D \) 上有有限个一阶极点，则广义残数定理可表述为： \[ \text{P.V.} \oint_ {\partial D} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_ {\text{内部奇点}} \operatorname{Res}(f, z_ k) + \pi i \sum_ {\text{边界奇点}} \operatorname{Res}(f, w_ j), \] 其中 P.V. 表示柯西主值，\( w_ j \) 是边界上的奇点。注意边界奇点的贡献是 \( \pi i \) 倍留数，而非 \( 2\pi i \)，这是因为在取主值的过程中，边界奇点只被绕半周。 更一般地，若 \( f \) 在扩充复平面（包括无穷远点）上除有限个奇点外全纯，广义残数定理还可写为： \[ \sum_ {\text{所有有限奇点}} \operatorname{Res}(f, z_ k) + \operatorname{Res}(f, \infty) = 0. \] 这里 \( \operatorname{Res}(f, \infty) \) 定义为 \( -\operatorname{Res}(f(1/z)/z^2, 0) \)。这一形式在计算实积分时尤为有用，因为它允许我们通过计算无穷远点的留数来简化问题。 广义残数定理不仅扩展了经典定理的适用范围，还提供了处理边界奇点和无穷远点奇点的系统方法，是复变函数理论中一个强大而实用的工具。