复变函数的瓦尔斯泰拉斯分解定理 瓦尔斯泰拉斯分解定理是整函数理论中的重要结果，它建立了整函数与多项式之间的深刻联系。让我们从基础概念开始逐步展开： 整函数的零点结构 整函数是复平面上处处解析的函数。与多项式类似，整函数可能有零点。例如，sin z 在 z = nπ (n ∈ Z) 处有零点。这些零点可以是有限个或无限个，但根据唯一性定理，零点在复平面上没有聚点（除非函数恒为零）。 初等因子的构造 对于每个非零复数 a_ k，我们定义初等因子： E_ 0(z) = 1 - z E_ m(z) = (1 - z)exp(z + z²/2 + ... + z^m/m) (m ≥ 1) 这个构造的关键在于：当 |z| < 1 时，E_ m(z) 在 z=1 处有单零点，且其模的增长受到指数因子的控制。 有限零点情况 如果整函数 f(z) 只有有限个零点 a₁,...,a_ n（计入重数），且 f(0) ≠ 0，则存在多项式 P(z) 使得： f(z) = e^{P(z)} ∏_ {k=1}^n (1 - z/a_ k) 这可以看作多项式因式分解在整函数情形的推广。 无限零点情况的挑战 当零点序列 {a_ k} 无限时，直接乘积 ∏(1 - z/a_ k) 可能不收敛。瓦尔斯泰拉斯的关键思想是：通过选择合适的整数序列 m_ k，使得乘积： ∏ E_ {m_ k}(z/a_ k) 在复平面上内闭一致收敛。 收敛性条件 序列 {m_ k} 的选择需满足：∑_ {k=1}^∞ |z/a_ k|^{m_ k+1} 在任意紧集上一致收敛。通常取 m_ k = k-1 或类似增长缓慢的序列即可保证收敛性。 完整定理表述 设 f 是非常值的整函数，在 z=0 处有 m 重零点，其他零点为 {a_ k}（按模增序排列且重复计入重数），则存在整函数 g 和整数序列 {p_ k} 使得： f(z) = z^m e^{g(z)} ∏ {k=1}^∞ E {p_ k}(z/a_ k) 其中乘积在整个复平面上内闭一致收敛。 指数因子的作用 指数因子 e^{g(z)} 用于补偿零点乘积可能引入的额外增长性。当 f 有有限增长级时，g 可以是多项式；当 f 有无穷增长级时，g 是超越整函数。 与泰勒展开的关系 瓦尔斯泰拉斯分解从零点角度刻画整函数，而泰勒展开从导数角度刻画，两者互为补充。对于多项式情形，该分解退化为标准因式分解。 应用举例 考虑 f(z) = sin(πz)/(πz)，它在 z = ±1, ±2, ... 处有单零点。瓦尔斯泰拉斯分解给出： sin(πz)/(πz) = ∏_ {n=1}^∞ (1 - z²/n²) 这就是著名的正弦乘积公式，其中初等因子取 E₁(z/n)E₁(-z/n) 的形式。 瓦尔斯泰拉斯分解定理深刻揭示了整函数的零点与其整体结构之间的关系，是研究整函数值分布理论的基础工具。