可测函数序列的几乎处处收敛与依测度收敛的关系 基本定义回顾 在实变函数中，我们研究函数序列的收敛性时，主要考虑以下两种收敛模式： 几乎处处收敛 ：序列 \(\{f_ n\}\) 在可测集 \(E\) 上满足 \(f_ n(x) \to f(x)\) 对几乎所有 \(x \in E\) 成立（即不收敛的点集测度为0）。 依测度收敛 ：对任意 \(\varepsilon > 0\)，有 \(\lim_ {n\to\infty} \mu(\{x \in E : |f_ n(x) - f(x)| \geq \varepsilon\}) = 0\)。 这两种收敛性在理论和应用中均具有重要意义，但其关系需通过测度空间的性质进一步分析。 有限测度空间中的关系 若 \(\mu(E) < \infty\)，则以下结论成立： 几乎处处收敛推不出依测度收敛 ：需附加条件（如叶戈罗夫定理）才能保证。 依测度收敛推不出几乎处处收敛 ：可构造反例，如“滑动区间”序列在 \([ 0,1 ]\) 上依勒贝格测度收敛于0，但处处不收敛。 关键定理 ：若 \(f_ n \to f\) 几乎处处，且 \(\mu(E) < \infty\)，则 \(f_ n \to f\) 依测度收敛（通过叶戈罗夫定理的推论证明）。 无限测度空间的反例 当 \(\mu(E) = \infty\) 时，几乎处处收敛无法推出依测度收敛。例如，定义 \(f_ n = \chi_ {[ n,n+1]}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上，则 \(f_ n \to 0\) 处处，但对 \(\varepsilon=1/2\)，有 \(\mu(\{ |f_ n| \geq 1/2 \}) = 1\) 不趋于0。 部分逆关系：里斯定理 若 \(f_ n \to f\) 依测度，则存在子列 \(\{f_ {n_ k}\}\) 几乎处处收敛于 \(f\)。这一结论在任意测度空间均成立，表明依测度收敛是几乎处处收敛的“弱形式”。 一致可积性的作用 当序列 \(\{f_ n\}\) 一致可积且依测度收敛时，可进一步推出 \(L^1\) 收敛（维塔利收敛定理）。此时，几乎处处收敛的子列可通过控制函数条件加强为整体收敛。 应用与推广 该关系在概率论中尤为重要（依概率收敛与几乎必然收敛），且在分析函数列的极限行为时，常通过抽取子列将问题转化为几乎处处收敛的情形，以简化证明。