复变函数的法图集与茹利亚集 我们先从动力系统的背景开始理解。考虑一个复多项式函数（或有理函数）\( f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} \)，以及它的迭代序列： \[ f^0(z) = z, \quad f^1(z) = f(z), \quad f^2(z) = f(f(z)), \quad \dots \] 对于给定的初始点 \( z_ 0 \)，我们关心迭代过程中轨道的长期行为。 1. 法图集（Fatou set）的定义 法图集 \( F(f) \) 是使得迭代 \( \{f^n\} \) 在 \( z_ 0 \) 的某个邻域内为正规族的点的集合。这里“正规族”指该函数族中任一无穷序列都有局部一致收敛的子序列（收敛到解析函数或无穷大）。直观上，法图集中的点对初始条件变化不敏感，轨道行为较为“稳定”。 2. 茹利亚集（Julia set）的定义 茹利亚集 \( J(f) \) 是法图集的补集，即 \( J(f) = \mathbb{C} \setminus F(f) \)。茹利亚集中的点对初始条件极其敏感（具有混沌特性），且迭代函数族在任意邻域内非正规。 3. 基本性质 \( F(f) \) 是开集，\( J(f) \) 是闭集。 两者均在 \( f \) 下完全不变：若 \( z \in F(f) \)（或 \( J(f) \)），则 \( f(z) \) 与 \( f^{-1}(z) \) 也在其中。 \( J(f) \) 非空，当 \( f \) 是非常数的多项式或有理函数时（除非是某些特殊情形，如 \( f(z)=z^n \) 的茹利亚集为单位圆周）。 4. 分类与例子 以二次多项式 \( f_ c(z) = z^2 + c \) 为例： 当 \( c = 0 \)：法图集为单位圆盘内部（轨道收敛到原点）和单位圆外部（轨道趋于无穷），茹利亚集为单位圆周。 当 \( c \) 取其他值（如 \( c = -0.8 \)）：茹利亚集可能为分形曲线（如连通的但不光滑的闭曲线），法图集为其补集。 5. 法图域（Fatou domain） 法图集是开集，其连通分支称为法图域。每个法图域在 \( f \) 迭代下会映射到另一个（或自身）法图域。根据动力行为，法图域可分为几类： 吸引域：轨道趋于周期循环（吸引周期轨道）。 抛物域：轨道趋于中性周期点（乘子为单位根）。 西格尔盘：在周期域内 \( f \) 共轭于无理旋转。 赫尔曼环：双周期环域，\( f \) 共轭于无理旋转。 贝克域：轨道趋于无穷或某个本质奇点。 6. 茹利亚集的特性 完全不变性：\( J(f) = f(J(f)) = f^{-1}(J(f)) \)。 不可数且无处稠密？不一定，但通常为无处稠密的完全集（不含内点）。 对于双曲有理函数，茹利亚集常为分数维集（分形）。 7. 填充茹利亚集（filled Julia set） 对于多项式 \( f \)，填充茹利亚集 \( K(f) \) 定义为轨道有界的点集： \[ K(f) = \{ z \in \mathbb{C} : \{f^n(z)\} \text{ 有界} \} \] 则 \( J(f) = \partial K(f) \)。 8. 蒙泰尔定理与正规族 法图集的定义依赖于正规族概念。蒙泰尔定理指出：在区域 \( D \) 上，不取三个指定值的全纯函数族是正规族。这可用于证明茹利亚集常是“混沌”的，因为在其任意邻域上迭代会取到几乎所有值（除了至多两个例外值），从而破坏正规性。 9. 有理映射的茹利亚集与法图集的关系 对于有理函数 \( R(z) \)，茹利亚集是极斥周期点的闭包，也是回复周期点的集合。法图集则包含所有稳定轨道类型的点。 10. 进一步性质 若 \( f \) 是多项式，则 \( J(f) \) 连通当且仅当 \( K(f) \) 连通（即临界轨道有界）。 茹利亚集在 \( f \) 下是拓扑传递的：存在 \( z \in J(f) \) 使正向轨道在 \( J(f) \) 中稠密。 茹利亚集具有扩张性（在双曲情形）：存在 \( c > 1 \) 和 \( k \) 使 \( |(f^k)'(z)| > c \) 对所有 \( z \in J(f) \) 成立。