量子力学中的Bogoliubov变换
我会循序渐进地讲解Bogoliubov变换，从基本概念到数学结构，再到物理应用。
第一步：变换的基本定义
Bogoliubov变换是一种在量子多体理论中广泛使用的正则变换，它将一组玻色子或费米子的产生湮灭算符线性映射到另一组产生湮灭算符。对于玻色子情况，变换形式为：
\[b_i = \sum_j (U_{ij} a_j + V_{ij} a_j^\dagger) \]
\[ b_i^\dagger = \sum_j (U_{ij}^* a_j^\dagger + V_{ij}^* a_j) \]
其中\(a_i, a_i^\dagger\)是原始的产生湮灭算符，\(b_i, b_i^\dagger\)是变换后的算符，\(U\)和\(V\)是变换矩阵。
第二步：正则对易关系的保持
变换必须保持算符的对易关系。对于玻色子，这要求：
\[[b_i, b_j^\dagger] = \delta_{ij},\quad [b_i, b_j] = 0 \]
这等价于矩阵条件：
\[UU^\dagger - VV^\dagger = I,\quad UV^T - VU^T = 0 \]
对于费米子情况，变换需要保持反对易关系，相应的矩阵条件为：
\[UU^\dagger + VV^\dagger = I,\quad UV^T + VU^T = 0 \]
第三步：变换的矩阵表示
Bogoliubov变换可以表示为辛变换。定义算符向量：
\[\Psi = (a_1, \cdots, a_n, a_1^\dagger, \cdots, a_n^\dagger)^T \]
则变换可写为：
\[\Psi' = S\Psi \]
其中\(S\)是辛矩阵，满足：
\[S\Sigma S^\dagger = \Sigma \]
这里\(\Sigma\)是辛形式矩阵，对于玻色子为\(\begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}\)，对于费米子为\(\begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}\)。
第四步：变换的物理实现
Bogoliubov变换可以通过么正变换实现。存在么正算符\(U_B\)使得：
\[b_i = U_B a_i U_B^\dagger \]
对于玻色子，这个么正算符可以显式构造为：
\[U_B = \exp\left(\frac{1}{2}\sum_{ij} K_{ij} a_i^\dagger a_j^\dagger - \text{h.c.}\right) \]
其中\(K\)是反对称矩阵。这个表达式展示了几种重要的物理过程，包括粒子对的产生和湮灭。
第五步：在超导理论中的应用
在BCS超导理论中，Bogoliubov变换用于对角化BCS哈密顿量：
\[H = \sum_{k\sigma} \epsilon_k c_{k\sigma}^\dagger c_{k\sigma} + \sum_{k} (\Delta c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger + \text{h.c.}) \]
通过适当的Bogoliubov变换：
\[\gamma_{k\uparrow} = u_k c_{k\uparrow} - v_k c_{-k\downarrow}^\dagger \]
\[ \gamma_{k\downarrow} = u_k c_{k\downarrow} + v_k c_{-k\uparrow}^\dagger \]
哈密顿量被对角化为：
\[H = E_0 + \sum_{k\sigma} E_k \gamma_{k\sigma}^\dagger \gamma_{k\sigma} \]
其中\(E_k = \sqrt{\epsilon_k^2 + |\Delta|^2}\)是准粒子能谱，展示了超导能隙的存在。
第六步：在量子光学中的应用
在量子光学中，Bogoliubov变换描述压缩态。压缩算符定义为：
\[S(\zeta) = \exp\left(\frac{1}{2}\zeta^* a^2 - \frac{1}{2}\zeta (a^\dagger)^2\right) \]
作用在湮灭算符上产生：
\[S^\dagger(\zeta) a S(\zeta) = a\cosh r - a^\dagger e^{i\theta}\sinh r \]
这是单模Bogoliubov变换的特例，其中\(\zeta = re^{i\theta}\)。这种变换导致某个正交分量的量子涨落被压缩，而共轭分量的涨落增加。