傅立叶变换期权定价法 傅立叶变换期权定价法是一类利用傅立叶分析技术对期权进行定价的数学方法。其核心思想是将期权定价问题从概率域转换到傅立叶域（特征函数域），利用特征函数的良好性质简化计算。 首先，我们需要理解特征函数的概念。在金融数学中，资产价格过程的风险中性特征函数定义为： φ(u) = E[ e^(iuX_ T) ] 其中X_ T = ln(S_ T/K)，S_ T是到期日资产价格，K是执行价，u是傅立叶域变量。特征函数本质上是随机变量对数的傅立叶变换。 接下来，考虑期权定价的核心问题。对于一个欧式看涨期权，其价格可表示为： C = e^(-rT)E[ (S_ T - K)^+ ] 这个期望的直接计算通常很复杂，特别是当资产价格过程包含跳跃或随机波动率时。 傅立叶变换方法的巧妙之处在于将期权价格表示为傅立叶逆变换的形式。具体来说，我们可以将期权价格写为： C = e^(-rT) ∫_ k^∞ (e^x - e^k) f(x) dx 其中x = ln(S_ T)，k = ln(K)，f(x)是风险中性密度函数。 然后，我们引入傅立叶变换技术。关键步骤是将期权 payoff 函数进行傅立叶变换。对于看涨期权，其 dampened payoff 函数的傅立叶变换为： ψ(v) = ∫_ R e^(ivx) (e^(αx) - e^k)^+ dx = e^(k(1+iv))/((iv-α)(1+iv-α)) 其中α是阻尼因子，确保积分收敛。 利用Parseval定理，期权价格可重新表示为： C = e^(-rT)/(2π) ∫_ R φ(-v) ψ(v) dv 这里φ(v)是特征函数，ψ(v)是 payoff 函数的傅立叶变换。 这种方法的最大优势在于，对于许多复杂的资产价格过程（如跳跃扩散过程、随机波动率模型等），其特征函数往往有解析表达式，而密度函数可能没有。这使得我们可以绕过复杂的数值积分，直接利用特征函数进行定价。 在实际应用中，还需要考虑数值实现的细节。常用的数值方法包括快速傅立叶变换（FFT）、傅立叶余弦展开（COS方法）等。这些方法通过离散化傅立叶域变量，利用高效的数值算法计算逆变换，大大提高了计算效率。 傅立叶变换方法特别适合批量定价（如同时计算多个执行价的期权价格），以及对路径依赖期权的定价。该方法已成为现代金融工程中不可或缺的定价工具，特别是在处理复杂随机过程时显示出巨大优势。