随机波动率模型的傅里叶展开方法 我将为您详细讲解随机波动率模型中的傅里叶展开方法，这是一种高效计算期权价格的重要技术。 傅里叶变换在期权定价中的基本优势 傅里叶方法的核心价值在于其计算效率。在随机波动率模型下，期权价格通常需要计算复杂的多维积分，而傅里叶变换可以将这些积分转化为特征函数的乘积运算。特征函数是概率分布的傅里叶变换，对于许多随机过程，其特征函数具有解析表达式，这大大简化了计算。 特征函数的关键作用 在随机波动率模型中，资产价格过程通常表示为： dS_ t = μS_ tdt + √v_ t S_ t dW_ t^S dv_ t = κ(θ-v_ t)dt + σ√v_ t dW_ t^v 其中两个布朗运动相关：dW_ t^S dW_ t^v = ρdt 该联合过程的特征函数定义为： φ(u) = E[ exp(iu ln(S_ T)) | S_ t, v_ t ] 这个特征函数通常有半解析表达式，即使概率密度函数没有显式解。 COS方法的核心思想 傅立叶余弦展开（COS）方法是目前最有效的实现之一。其基本思想是将风险中性密度函数在有限区间上展开为余弦级数： f(x) ≈ ∑_ {k=0}^{N-1} A_ k cos(kπ(x-a)/(b-a)) 其中系数A_ k与特征函数直接相关：A_ k = Re{φ(kπ/(b-a)) exp(-ikπa/(b-a))} 期权价格的余弦级数表示 利用上述展开，欧式看涨期权的价格可以表示为： C ≈ e^{-rτ} ∑_ {k=0}^{N-1} A_ k V_ k 其中V_ k是余弦级数展开系数，对应期权的支付函数。这个级数通常只需要很少项（N=64-128）就能达到很高精度。 处理随机波动率的特殊技巧 在随机波动率框架下，需要计算条件特征函数φ(u|v_ t)。以赫斯顿模型为例： φ(u) = exp(C(τ,u) + D(τ,u)v_ t + iu ln(S_ t)) 其中C(τ,u)和D(τ,u)有解析表达式。这使得我们可以直接计算余弦级数系数，而无需模拟整个路径。 计算效率的量化比较 与传统蒙特卡洛方法相比，COS方法通常快10-100倍，同时精度更高。对于需要反复定价的应用（如模型校准），这种效率提升尤为关键。实际应用中，N=64通常能达到10^{-7}的相对误差。 这种方法将复杂的随机波动率定价问题转化为高效的级数求和，是计算金融工程中的重要技术进步。