双曲抛物面 双曲抛物面是一种经典的直纹曲面，具有独特的几何特性。让我们从基础概念开始，逐步深入理解它的数学本质。 第一步：基本定义与方程 双曲抛物面的标准方程是 \( z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} \)（或通过坐标旋转得到等价形式）。其名称来源于两个关键特征： "双曲"：用平行于 \(xy\) 平面的平面 \(z=c\) 截取曲面时，截面为双曲线（当 \(c \neq 0\)） "抛物"：用平行于 \(xz\) 平面（即 \(y=c\)）或 \(yz\) 平面（即 \(x=c\)）的平面截取时，截面为抛物线 第二步：直观几何特征 鞍形结构 ：曲面呈马鞍状，在原点处存在鞍点——沿 \(x\) 方向向上弯曲，沿 \(y\) 方向向下弯曲 渐近锥面 ：当 \(|z|\) 增大时，曲面无限接近锥面 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0 \) 对称性 ：关于 \(xz\) 平面、\(yz\) 平面和 \(z\) 轴对称 第三步：直纹曲面性质 这是双曲抛物面最引人入胜的特性——它可由直线族生成： 第一族直母线：\( \begin{cases} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2u \\ z = u(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}) \end{cases} \) 第二族直母线：\( \begin{cases} \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 2v \\ z = v(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}) \end{cases} \) 同一族内的任意两条直线不相交，不同族的任意两条直线必相交于曲面上一点。 第四步：曲率分析 在鞍点（原点）处： 高斯曲率 \(K < 0\)，表明曲面是负弯曲的 两个主曲率 \(k_ 1, k_ 2\) 符号相反，绝对值相等 渐近方向与直母线方向一致，沿这些方向的法曲率为零 第五步：参数化表示 更一般的参数方程为： \[ \vec{r}(u,v) = \left( a(u+v),\ b(u-v),\ 2uv \right) \] 这种参数化清晰地展示了直纹结构，\(u=\)常数和\(v=\)常数分别对应两族直母线。 理解双曲抛物面有助于掌握直纹曲面理论、负曲率曲面特性，在建筑学（如鞍形屋顶）、工程学中都有重要应用。