平行轴定理 平行轴定理是描述刚体转动惯量与转轴位置关系的重要定理。让我们从基础概念开始，逐步深入理解这个定理。 1. 转动惯量的基本概念 转动惯量是描述刚体绕轴转动时惯性大小的物理量 对于质量为m的质点，绕某轴旋转的转动惯量为 I = mr²，其中r是质点到转轴的垂直距离 对于刚体，转动惯量是所有质量微元转动惯量的总和：I = ∫ r² dm 2. 质心转动惯量 质心是物体质量分布的中心点 质心转动惯量(I_ cm)是指刚体绕通过质心的轴旋转时的转动惯量 这是计算平行轴定理的基础参考量 3. 平行轴定理的表述 设刚体质量为m，绕通过质心的轴的转动惯量为I_ cm 则该刚体绕与质心轴平行的任意轴的转动惯量为： I = I_ cm + md² 其中d是两平行轴之间的垂直距离 4. 定理的数学推导 考虑刚体中任意质量微元dm，其到质心轴的垂直距离为r，到新轴的垂直距离为R 根据几何关系：R² = r² + d² - 2rd·cosθ 对整个刚体积分： I = ∫ R² dm = ∫ (r² + d² - 2rd·cosθ) dm = ∫ r² dm + d²∫ dm - 2d∫ r·cosθ dm 由于质心在原点，∫ r·cosθ dm = 0 因此：I = I_ cm + md² 5. 定理的应用条件 两转轴必须平行 其中一个转轴必须通过质心 刚体质量分布不变 6. 实例分析：均匀细杆 细杆长L，质量m，绕通过质心且垂直于杆的轴： I_ cm = (1/12)mL² 绕通过端点且平行的轴： d = L/2，I = (1/12)mL² + m(L/2)² = (1/3)mL² 7. 定理的几何解释 转动惯量由两部分组成：绕质心转动的惯性 + 质心整体移动的惯性 md²项反映了将整个质量集中在质心时绕新轴的转动惯量 8. 定理的推广形式 对于多个刚体组成的系统，总转动惯量为各部件转动惯量之和 每个部件都使用平行轴定理计算其绕指定轴的转动惯量 平行轴定理在工程力学、天体力学等领域有广泛应用，是分析复杂系统转动问题的重要工具。