复变函数的阿达马因子分解定理 我们先从最基础的概念开始。阿达马因子分解定理是描述整函数（在整个复平面上解析的函数）如何分解为因子的重要定理。为了理解它，我们需要先回顾几个预备概念。 整函数的基本概念 整函数是在整个复平面上解析的函数，例如多项式、指数函数、正弦函数等。根据刘维尔定理，有界整函数必为常数。而非平凡的整函数可以按照其增长性分类。 整函数的阶与型 阿达马定理的核心与整函数的增长性有关。我们引入 阶 (order) 的概念：若存在常数 \( A > 0 \)，使得对任意 \( r > 0 \)，有 \[ M(r) = \max_ {|z|=r} |f(z)| < e^{r^{\rho + \varepsilon}} \] 则称 \( f \) 的阶不超过 \( \rho \)。使得上述不等式对所有 \( \varepsilon > 0 \) 成立的最小 \( \rho \) 称为 \( f \) 的阶。 进一步，若阶为 \( \rho \)，且存在常数 \( \tau > 0 \)，使得 \[ M(r) < e^{\tau r^{\rho}} \] 则称 \( f \) 的型不超过 \( \tau \)。使得上述不等式成立的最小 \( \tau \) 称为 \( f \) 的型。 整函数的零点与典范乘积 若整函数 \( f \) 有无穷多个零点 \( \{a_ n\} \)（非零），且按模递增排列，则根据魏尔斯特拉斯因子分解定理，\( f \) 可表示为 \[ f(z) = z^m e^{g(z)} \prod_ {n=1}^{\infty} E_ p\left(\frac{z}{a_ n}\right) \] 其中 \( E_ p(u) = (1-u) e^{u + \frac{u^2}{2} + \cdots + \frac{u^p}{p}} \) 是初等因子，\( g(z) \) 是另一整函数，\( m \) 是零点在原点的重数。 阿达马定理的表述 阿达马因子分解定理指出：若整函数 \( f \) 的阶为 \( \rho \)（有限），且其零点为 \( \{a_ n\} \)，则存在整数 \( p \leq \rho \)（通常取 \( p = \lfloor \rho \rfloor \)），使得典范乘积 \[ P(z) = z^m \prod_ {n=1}^{\infty} E_ p\left(\frac{z}{a_ n}\right) \] 收敛，且 \( f \) 可表示为 \[ f(z) = e^{Q(z)} P(z) \] 其中 \( Q(z) \) 是次数不超过 \( \rho \) 的多项式。 定理的深入理解 该定理将整函数的零点信息（通过典范乘积 \( P(z) \)）与增长性（通过多项式 \( Q(z) \)）精确联系起来。 若 \( \rho \) 不是整数，则 \( Q(z) \) 的次数不超过 \( \lfloor \rho \rfloor \)；若 \( \rho \) 是整数，则 \( Q(z) \) 的次数不超过 \( \rho \)，但此时需考虑型的影响（若型有限，则次数恰好为 \( \rho \)）。 该定理在值分布理论中有重要应用，例如用于证明皮卡定理。 应用举例 考虑函数 \( \sin(\pi z) \)，其零点为 \( z = n \)（\( n \in \mathbb{Z} \)），阶为 1。根据阿达马定理，可分解为 \[ \sin(\pi z) = z e^{Q(z)} \prod_ {n \neq 0} \left(1 - \frac{z}{n}\right) e^{z/n} \] 通过进一步计算可得 \( Q(z) \) 为常数，且最终得到熟知的乘积公式。 阿达马定理不仅提供了整函数的显式分解，还建立了函数零点分布与整体增长性之间的深刻联系，是复变函数论中的经典结果之一。