模的Jacobson根

字数 2276 2025-11-13 20:12:39

模的Jacobson根

我们先从环的Jacobson根概念开始。设 \(R\) 是一个环（含单位元）。\(R\) 的 Jacobson 根 \(J(R)\) 定义为 \(R\) 的所有极大左理想的交。它等价于所有极大右理想的交，因此是 \(R\) 的双边理想。\(J(R)\) 的一个关键刻画是：\(x \in J(R)\) 当且仅当对任意 \(r \in R\)，元素 \(1 - rx\) 在 \(R\) 中左可逆（即存在 \(y \in R\) 使得 \(y(1 - rx) = 1\)）。

现在考虑模。设 \(R\) 是一个环，\(M\) 是一个左 \(R\)-模。模 \(M\) 的 Jacobson 根（或称为根子模）\(\operatorname{Rad}(M)\) 定义为 \(M\) 的所有极大子模的交。如果 \(M\) 没有极大子模，则规定 \(\operatorname{Rad}(M) = M\)。极大子模是指 \(M\) 的真子模 \(N \subsetneq M\)，且不存在子模 \(L\) 使得 \(N \subsetneq L \subsetneq M\)。

例如，考虑整数模 \(\mathbb{Z}\)-模 \(\mathbb{Z}\)。其极大子模就是极大理想 \(p\mathbb{Z}\)（\(p\) 为素数）生成的子模。这些极大子模的交是 \(\bigcap_{p \text{ prime}} p\mathbb{Z} = 0\)，因此 \(\operatorname{Rad}(\mathbb{Z}) = 0\)。

Jacobson 根与模的生成性质有关。设 \(M\) 是一个模，\(X \subset M\) 是一个子集。如果不存在 \(M\) 的真子模包含 \(X\)，则称 \(X\) 生成 \(M\)。特别地，单个元素 \(m \in M\) 生成 \(M\) 当且仅当 \(Rm = M\)。我们有性质：\(m \in \operatorname{Rad}(M)\) 当且仅当 \(m\) 在任意商模 \(M/N\)（其中 \(N\) 是 \(M\) 的极大子模）中的像为零。这意味着 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 中所有“冗余”元素的集合，即从 \(M\) 中去掉它们不会影响 \(M\) 被某些子集生成的能力。

更精确地，设 \(M\) 是有限生成模。则 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(M\) 的所有冗余生成元构成的子模：如果 \(m \in \operatorname{Rad}(M)\)，且 \(M\) 由 \(\{m_1, \dots, m_n\}\) 生成，则 \(M\) 也由 \(\{m_1, \dots, m_n, m\}\) 生成，但 \(m\) 是冗余的，即 \(M\) 仍由 \(\{m_1, \dots, m_n\}\) 生成。事实上，有 Nakayama 引理：设 \(M\) 是有限生成 \(R\)-模，\(I \subseteq J(R)\) 是 \(R\) 的 Jacobson 根中的理想。如果 \(IM = M\)，则 \(M = 0\)。推论：若 \(M\) 有限生成，且 \(N \subseteq M\) 是子模使得 \(M = N + \operatorname{Rad}(M)\)，则 \(M = N\)。

Jacobson 根在模的同态下行为良好。设 \(f: M \to N\) 是模同态。则 \(f(\operatorname{Rad}(M)) \subseteq \operatorname{Rad}(N)\)。特别地，如果 \(M\) 是 \(R\)-模，则 \(\operatorname{Rad}(M)\) 是 \(R\)-子模。此外，对于模的直和，有 \(\operatorname{Rad}(\bigoplus_i M_i) = \bigoplus_i \operatorname{Rad}(M_i)\)。

考虑商模 \(M / \operatorname{Rad}(M)\)。这个商模的 Jacobson 根为零，即 \(\operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = 0\)。这样的模称为根半单模。根半单模不一定半单，但当 \(R\) 是 Artin 环时，有限生成根半单模是半单模。

最后，Jacobson 根与投射模的生成有关。设 \(P\) 是投射模，\(f: P \to M\) 是满同态。如果 \(f(\operatorname{Rad}(P)) \subseteq \operatorname{Rad}(M)\) 且 \(M\) 是有限生成的，则存在截口 \(s: M \to P\) 使得 \(f \circ s = \operatorname{id}_M\)。这表明在有限生成模的情形，Jacobson 根在提升性质中起关键作用。

模的Jacobson根我们先从环的Jacobson根概念开始。设 \( R \) 是一个环（含单位元）。\( R \) 的 Jacobson 根 \( J(R) \) 定义为 \( R \) 的所有极大左理想的交。它等价于所有极大右理想的交，因此是 \( R \) 的双边理想。\( J(R) \) 的一个关键刻画是：\( x \in J(R) \) 当且仅当对任意 \( r \in R \)，元素 \( 1 - rx \) 在 \( R \) 中左可逆（即存在 \( y \in R \) 使得 \( y(1 - rx) = 1 \)）。现在考虑模。设 \( R \) 是一个环，\( M \) 是一个左 \( R \)-模。模 \( M \) 的 Jacobson 根（或称为根子模）\( \operatorname{Rad}(M) \) 定义为 \( M \) 的所有极大子模的交。如果 \( M \) 没有极大子模，则规定 \( \operatorname{Rad}(M) = M \)。极大子模是指 \( M \) 的真子模 \( N \subsetneq M \)，且不存在子模 \( L \) 使得 \( N \subsetneq L \subsetneq M \)。例如，考虑整数模 \( \mathbb{Z} \)-模 \( \mathbb{Z} \)。其极大子模就是极大理想 \( p\mathbb{Z} \)（\( p \) 为素数）生成的子模。这些极大子模的交是 \( \bigcap_ {p \text{ prime}} p\mathbb{Z} = 0 \)，因此 \( \operatorname{Rad}(\mathbb{Z}) = 0 \)。 Jacobson 根与模的生成性质有关。设 \( M \) 是一个模，\( X \subset M \) 是一个子集。如果不存在 \( M \) 的真子模包含 \( X \)，则称 \( X \) 生成 \( M \)。特别地，单个元素 \( m \in M \) 生成 \( M \) 当且仅当 \( Rm = M \)。我们有性质：\( m \in \operatorname{Rad}(M) \) 当且仅当 \( m \) 在任意商模 \( M/N \)（其中 \( N \) 是 \( M \) 的极大子模）中的像为零。这意味着 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 中所有“冗余”元素的集合，即从 \( M \) 中去掉它们不会影响 \( M \) 被某些子集生成的能力。更精确地，设 \( M \) 是有限生成模。则 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( M \) 的所有冗余生成元构成的子模：如果 \( m \in \operatorname{Rad}(M) \)，且 \( M \) 由 \( \{m_ 1, \dots, m_ n\} \) 生成，则 \( M \) 也由 \( \{m_ 1, \dots, m_ n, m\} \) 生成，但 \( m \) 是冗余的，即 \( M \) 仍由 \( \{m_ 1, \dots, m_ n\} \) 生成。事实上，有 Nakayama 引理：设 \( M \) 是有限生成 \( R \)-模，\( I \subseteq J(R) \) 是 \( R \) 的 Jacobson 根中的理想。如果 \( IM = M \)，则 \( M = 0 \)。推论：若 \( M \) 有限生成，且 \( N \subseteq M \) 是子模使得 \( M = N + \operatorname{Rad}(M) \)，则 \( M = N \)。 Jacobson 根在模的同态下行为良好。设 \( f: M \to N \) 是模同态。则 \( f(\operatorname{Rad}(M)) \subseteq \operatorname{Rad}(N) \)。特别地，如果 \( M \) 是 \( R \)-模，则 \( \operatorname{Rad}(M) \) 是 \( R \)-子模。此外，对于模的直和，有 \( \operatorname{Rad}(\bigoplus_ i M_ i) = \bigoplus_ i \operatorname{Rad}(M_ i) \)。考虑商模 \( M / \operatorname{Rad}(M) \)。这个商模的 Jacobson 根为零，即 \( \operatorname{Rad}(M/\operatorname{Rad}(M)) = 0 \)。这样的模称为根半单模。根半单模不一定半单，但当 \( R \) 是 Artin 环时，有限生成根半单模是半单模。最后，Jacobson 根与投射模的生成有关。设 \( P \) 是投射模，\( f: P \to M \) 是满同态。如果 \( f(\operatorname{Rad}(P)) \subseteq \operatorname{Rad}(M) \) 且 \( M \) 是有限生成的，则存在截口 \( s: M \to P \) 使得 \( f \circ s = \operatorname{id}_ M \)。这表明在有限生成模的情形，Jacobson 根在提升性质中起关键作用。