曲率线 曲率线是曲面上的特殊曲线，其切方向始终与曲面的一个主方向重合。理解曲率线需要从曲线的基本曲率概念，逐步深入到曲面的曲率理论。 曲线的曲率 曲率描述曲线在某点处的弯曲程度。对于平面曲线 \( y = f(x) \)，曲率公式为 \( \kappa = \frac{|y''|}{(1 + y'^2)^{3/2}} \)。对于空间曲线，曲率定义为切向量对弧长的变化率：若曲线参数方程为 \( \mathbf{r}(s) \)（\( s \) 为弧长），则曲率 \( \kappa = \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\| \)，其中 \( \mathbf{T} \) 是单位切向量。曲率越大，曲线局部弯曲越剧烈。 曲面的第一基本形式与法曲率 曲面 \( S \) 的参数方程为 \( \mathbf{r}(u, v) \)。第一基本形式 \( I = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2 \) 度量曲面上的弧长和角度，其中 \( E = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ u, F = \mathbf{r}_ u \cdot \mathbf{r}_ v, G = \mathbf{r}_ v \cdot \mathbf{r}_ v \)。 过曲面上一点 \( P \)，沿切方向 \( d\mathbf{r} = \mathbf{r}_ u du + \mathbf{r} v dv \)，曲面与法向量 \( \mathbf{N} \) 确定的平面相交得到一条法截线。法截线的曲率称为法曲率 \( \kappa_ n \)，计算公式为 \( \kappa_ n = \frac{L du^2 + 2M dudv + N dv^2}{E du^2 + 2F dudv + G dv^2} \)，其中 \( L, M, N \) 是第二基本形式的系数，描述曲面的弯曲性（例如 \( L = \mathbf{r} {uu} \cdot \mathbf{N} \)）。 主方向与主曲率 在点 \( P \) 处，法曲率随切方向变化。存在两个互相垂直的切方向 \( \mathbf{d}_ 1, \mathbf{d}_ 2 \)，使得法曲率取极值 \( \kappa_ 1 \) 和 \( \kappa_ 2 \)，称为主曲率，对应的切方向称为主方向。主曲率是方程 \( (EG - F^2)\kappa^2 - (EN + GL - 2FM)\kappa + (LN - M^2) = 0 \) 的根。 曲率线的定义与性质 曲率线是曲面上每点的切方向均为主方向的曲线。其数学条件为：切方向 \( (du, dv) \) 满足微分方程 \[ \begin{vmatrix} (dv)^2 & -dudv & (du)^2 \\ E & F & G \\ L & M & N \end{vmatrix} = 0. \] 曲率线构成曲面上的正交曲线网，且沿曲率线的主曲率变化规律由罗德里格斯公式描述：若 \( \mathbf{N} \) 是单位法向量，\( \kappa \) 是主曲率，则沿曲率线有 \( d\mathbf{N} + \kappa d\mathbf{r} = 0 \)。 曲率线的应用 曲率线在几何建模与工程中至关重要： 在曲面上构造自然坐标系，简化计算。 在壳体力学中，曲率线方向是应力主方向，帮助分析荷载分布。 在计算机图形学中，曲率线网格可用于曲面细分和纹理映射。