随机变量的变换的Slutsky定理
字数 2642 2025-11-13 17:31:40

随机变量的变换的Slutsky定理

我们先从随机变量序列收敛性的基本概念开始。假设我们有两个随机变量序列 \(X_n\) 和 \(Y_n\)，以及一个常数 \(c\)。Slutsky 定理描述了在 \(X_n\) 和 \(Y_n\) 分别以某种方式收敛时，它们的和、差、积、商等组合的收敛性质。这个定理在统计推断中极为重要，特别是在讨论估计量的渐近分布时。

1. 收敛模式回顾

  • 依概率收敛：若对任意 \(\epsilon > 0\)，有 \(\lim_{n \to \infty} P(|X_n - X| \geq \epsilon) = 0\)，则称 \(X_n\) 依概率收敛于 \(X\)，记作 \(X_n \xrightarrow{P} X\)。
  • 依分布收敛：若对 \(X_n\) 和 \(X\) 的分布函数 \(F_n\) 和 \(F\) 的所有连续点 \(x\)，有 \(\lim_{n \to \infty} F_n(x) = F(x)\)，则称 \(X_n\) 依分布收敛于 \(X\)，记作 \(X_n \xrightarrow{d} X\)。

2. Slutsky 定理的陈述
设 \(X_n\) 和 \(Y_n\) 为随机变量序列，满足：

  • \(X_n \xrightarrow{d} X\)（依分布收敛于随机变量 \(X\)）；
  • \(Y_n \xrightarrow{P} c\)（依概率收敛于常数 \(c\)）。
    则以下结论成立：
  1. \(X_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c\)；
  2. \(X_n Y_n \xrightarrow{d} cX\)；
  3. 若 \(c \neq 0\)，则 \(\frac{X_n}{Y_n} \xrightarrow{d} \frac{X}{c}\)。

3. 关键点与注意事项

  • \(Y_n\) 收敛于常数：Slutsky 定理要求 \(Y_n\) 依概率收敛于一个常数 \(c\)，而不是随机变量。如果 \(Y_n\) 收敛于一个非常数随机变量，结论可能不成立。
  • 运算的连续性：定理的证明依赖于连续映射定理。由于加法、乘法（当 \(c \neq 0\) 时）和除法是连续函数，因此随机变量序列的变换能保持收敛性。
  • 常数处理的优势：将 \(Y_n\) 的极限设为常数 \(c\)，简化了问题，因为常数与随机变量的运算不会引入额外的随机性。

4. 证明思路（以 \(X_n + Y_n\) 为例）

  • 目标：证明 \(X_n + Y_n \xrightarrow{d} X + c\)。
  • 步骤：
    1. 对任意 \(\epsilon > 0\)，考虑事件 \(\{ |Y_n - c| < \epsilon \}\) 及其补集。
    2. 利用 \(Y_n \xrightarrow{P} c\)，可知 \(P(|Y_n - c| \geq \epsilon) \to 0\)。
    3. 将 \(P(X_n + Y_n \leq t)\) 拆分为两部分，分别对应于 \(|Y_n - c| < \epsilon\) 和 \(|Y_n - c| \geq \epsilon\)。
    4. 在 \(|Y_n - c| < \epsilon\) 的条件下，\(X_n + Y_n\) 与 \(X_n + c\) 的差被控制在 \(\epsilon\) 以内，结合 \(X_n \xrightarrow{d} X\) 和分布函数的连续性，可得极限分布为 \(X + c\)。
    5. 另一部分的概率趋于 0，因此不影响极限。

5. 统计应用示例
假设 \(\hat{\theta}_n\) 是参数 \(\theta\) 的估计量，满足：

\[\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2), \]

且 \(\hat{\sigma}_n^2 \xrightarrow{P} \sigma^2\)。则：

  • 由 Slutsky 定理，\(\frac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta)}{\hat{\sigma}_n} = \frac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta)}{\sigma} \cdot \frac{\sigma}{\hat{\sigma}_n} \xrightarrow{d} N(0,1) \cdot 1 = N(0,1)\)。
  • 这使得我们能用 \(\hat{\sigma}_n\) 替代未知的 \(\sigma\) 构建置信区间或进行假设检验。

6. 与连续映射定理的关系
Slutsky 定理可视为连续映射定理的特例。连续映射定理指出：若 \(X_n \xrightarrow{d} X\) 且函数 \(g\) 连续，则 \(g(X_n) \xrightarrow{d} g(X)\)。在 Slutsky 定理中，通过将 \((X_n, Y_n)\) 视为联合序列，并利用 \(Y_n\) 收敛于常数的性质，使得 \(g(x, y) = x + y\)、\(g(x, y) = xy\) 等函数在极限处连续，从而保证收敛性。

7. 常见误区

  • \(Y_n\) 收敛于非常数：若 \(Y_n \xrightarrow{d} Y\)（非常数），则 \(X_n + Y_n\) 的极限分布未必是 \(X + Y\)，除非 \(X_n\) 和 \(Y_n\) 满足特定独立性条件。
  • 除法中 \(c = 0\)：当 \(c = 0\) 时，\(\frac{X_n}{Y_n}\) 可能不收敛，或收敛于非常见分布（如柯西分布），需单独分析。

通过以上步骤，您可以看到 Slutsky 定理如何通过结合不同收敛模式，简化随机变量序列变换的渐近分析，成为统计推断中不可或缺的工具。

随机变量的变换的Slutsky定理 我们先从随机变量序列收敛性的基本概念开始。假设我们有两个随机变量序列 \( X_ n \) 和 \( Y_ n \)，以及一个常数 \( c \)。Slutsky 定理描述了在 \( X_ n \) 和 \( Y_ n \) 分别以某种方式收敛时，它们的和、差、积、商等组合的收敛性质。这个定理在统计推断中极为重要，特别是在讨论估计量的渐近分布时。 1. 收敛模式回顾 依概率收敛 ：若对任意 \( \epsilon > 0 \)，有 \( \lim_ {n \to \infty} P(|X_ n - X| \geq \epsilon) = 0 \)，则称 \( X_ n \) 依概率收敛于 \( X \)，记作 \( X_ n \xrightarrow{P} X \)。 依分布收敛 ：若对 \( X_ n \) 和 \( X \) 的分布函数 \( F_ n \) 和 \( F \) 的所有连续点 \( x \)，有 \( \lim_ {n \to \infty} F_ n(x) = F(x) \)，则称 \( X_ n \) 依分布收敛于 \( X \)，记作 \( X_ n \xrightarrow{d} X \)。 2. Slutsky 定理的陈述 设 \( X_ n \) 和 \( Y_ n \) 为随机变量序列，满足： \( X_ n \xrightarrow{d} X \)（依分布收敛于随机变量 \( X \)）； \( Y_ n \xrightarrow{P} c \)（依概率收敛于常数 \( c \)）。 则以下结论成立： \( X_ n + Y_ n \xrightarrow{d} X + c \)； \( X_ n Y_ n \xrightarrow{d} cX \)； 若 \( c \neq 0 \)，则 \( \frac{X_ n}{Y_ n} \xrightarrow{d} \frac{X}{c} \)。 3. 关键点与注意事项 \( Y_ n \) 收敛于常数 ：Slutsky 定理要求 \( Y_ n \) 依概率收敛于一个常数 \( c \)，而不是随机变量。如果 \( Y_ n \) 收敛于一个非常数随机变量，结论可能不成立。 运算的连续性 ：定理的证明依赖于连续映射定理。由于加法、乘法（当 \( c \neq 0 \) 时）和除法是连续函数，因此随机变量序列的变换能保持收敛性。 常数处理的优势 ：将 \( Y_ n \) 的极限设为常数 \( c \)，简化了问题，因为常数与随机变量的运算不会引入额外的随机性。 4. 证明思路（以 \( X_ n + Y_ n \) 为例） 目标：证明 \( X_ n + Y_ n \xrightarrow{d} X + c \)。 步骤： 对任意 \( \epsilon > 0 \)，考虑事件 \( \{ |Y_ n - c| < \epsilon \} \) 及其补集。 利用 \( Y_ n \xrightarrow{P} c \)，可知 \( P(|Y_ n - c| \geq \epsilon) \to 0 \)。 将 \( P(X_ n + Y_ n \leq t) \) 拆分为两部分，分别对应于 \( |Y_ n - c| < \epsilon \) 和 \( |Y_ n - c| \geq \epsilon \)。 在 \( |Y_ n - c| < \epsilon \) 的条件下，\( X_ n + Y_ n \) 与 \( X_ n + c \) 的差被控制在 \( \epsilon \) 以内，结合 \( X_ n \xrightarrow{d} X \) 和分布函数的连续性，可得极限分布为 \( X + c \)。 另一部分的概率趋于 0，因此不影响极限。 5. 统计应用示例 假设 \( \hat{\theta}_ n \) 是参数 \( \theta \) 的估计量，满足： \[ \sqrt{n}(\hat{\theta}_ n - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2), \] 且 \( \hat{\sigma}_ n^2 \xrightarrow{P} \sigma^2 \)。则： 由 Slutsky 定理，\( \frac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_ n - \theta)}{\hat{\sigma}_ n} = \frac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_ n - \theta)}{\sigma} \cdot \frac{\sigma}{\hat{\sigma}_ n} \xrightarrow{d} N(0,1) \cdot 1 = N(0,1) \)。 这使得我们能用 \( \hat{\sigma}_ n \) 替代未知的 \( \sigma \) 构建置信区间或进行假设检验。 6. 与连续映射定理的关系 Slutsky 定理可视为连续映射定理的特例。连续映射定理指出：若 \( X_ n \xrightarrow{d} X \) 且函数 \( g \) 连续，则 \( g(X_ n) \xrightarrow{d} g(X) \)。在 Slutsky 定理中，通过将 \( (X_ n, Y_ n) \) 视为联合序列，并利用 \( Y_ n \) 收敛于常数的性质，使得 \( g(x, y) = x + y \)、\( g(x, y) = xy \) 等函数在极限处连续，从而保证收敛性。 7. 常见误区 \( Y_ n \) 收敛于非常数 ：若 \( Y_ n \xrightarrow{d} Y \)（非常数），则 \( X_ n + Y_ n \) 的极限分布未必是 \( X + Y \)，除非 \( X_ n \) 和 \( Y_ n \) 满足特定独立性条件。 除法中 \( c = 0 \) ：当 \( c = 0 \) 时，\( \frac{X_ n}{Y_ n} \) 可能不收敛，或收敛于非常见分布（如柯西分布），需单独分析。 通过以上步骤，您可以看到 Slutsky 定理如何通过结合不同收敛模式，简化随机变量序列变换的渐近分析，成为统计推断中不可或缺的工具。