可测函数关于测度的积分（定义与构造） 可测函数积分的背景与动机 在实变函数中，我们希望推广黎曼积分，使其适用于更广泛的函数类（如无界函数、定义在复杂集合上的函数）。通过引入测度论，我们可以在测度空间上定义积分，从而统一处理离散、连续及奇异情形的积分问题。 简单函数的积分定义 若函数 \( \phi = \sum_ {i=1}^{n} a_ i \chi_ {E_ i} \) 是非负简单函数（其中 \( E_ i \) 可测且两两不交，\( a_ i \geq 0 \)），其对测度 \( \mu \) 的积分为： \[ \int \phi \, d\mu = \sum_ {i=1}^{n} a_ i \mu(E_ i). \] 此定义直观表示“加权面积”，权值为函数值，权重对应的集合测度为 \( \mu(E_ i) \)。 非负可测函数的积分构造 对任意非负可测函数 \( f \)，存在一列非负简单函数 \( \{\phi_ n\} \) 满足 \( \phi_ n \uparrow f \)。定义： \[ \int f \, d\mu = \sup \left\{ \int \phi \, d\mu : \phi \text{ 为非负简单函数}, \phi \leq f \right\}. \] 此构造通过单调逼近保证良定义性，且与函数的具体逼近序列无关。 一般可测函数的积分分解 对实值可测函数 \( f \)，定义其正部 \( f^+ = \max(f, 0) \) 和负部 \( f^- = \max(-f, 0) \)。若至少一个积分 \( \int f^+ \, d\mu, \int f^- \, d\mu \) 有限，则定义： \[ \int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu. \] 若两者均有限，称 \( f \) 可积（即 \( f \in L^1(\mu) \)）。 积分的性质与收敛定理 线性性 ：若 \( f, g \) 可积，则对任意实数 \( a, b \)，有 \( \int (af + bg) \, d\mu = a \int f \, d\mu + b \int g \, d\mu \)。 单调性 ：若 \( f \leq g \) 几乎处处，则 \( \int f \, d\mu \leq \int g \, d\mu \)。 收敛定理 ：如单调收敛定理、法图引理和勒贝格控制收敛定理，为极限与积分交换顺序提供条件。 积分的几何解释与推广 积分可视为函数在测度空间上的“加权平均”，其几何意义由 \( \int f \, d\mu = \int_ 0^\infty \mu(\{x: f(x) > t\}) \, dt \)（对非负 \( f \)）体现。此定义可进一步推广到复值函数及向量值函数，为泛函分析和概率论奠定基础。