遍历理论中的李雅普诺夫谱 基本定义 李雅普诺夫谱描述动力系统中无穷小扰动的渐近指数增长率。设 \( f: M \to M \) 是一个可微动力系统，\( v \in T_ x M \) 是切空间中的向量，其李雅普诺夫指数定义为： \[ \lambda(x, v) = \limsup_ {n \to \infty} \frac{1}{n} \log \| Df^n(x) v \| \] 当极限存在时，该值表示沿轨道 \( f^n(x) \) 方向 \( v \) 的指数收缩（\( \lambda < 0 \)）或扩张（\( \lambda > 0 \)）速率。 谱的结构与重数 对于 \( \mu \)-几乎处处的 \( x \)，存在 \( k \leq \dim M \) 个不同的李雅普诺夫指数 \( \lambda_ 1(x) > \lambda_ 2(x) > \cdots > \lambda_ k(x) \)，每个指数对应一个重数 \( m_ i(x) \)（满足 \( \sum m_ i = \dim M \)）。这些指数与重数共同构成 李雅普诺夫谱 ，反映了切空间 \( T_ x M \) 按指数增长率的分解。 奥斯列德茨定理与可测性 奥斯列德茨定理指出：若 \( f \) 是 \( C^1 \) 映射且 \( \mu \) 是 \( f \)-不变概率测度，则存在一个可测的 \( f \)-不变满测集，其上李雅普诺夫指数存在且稳定。进一步，切空间可分解为嵌套的子空间： \[ T_ x M = V_ 1(x) \supset V_ 2(x) \supset \cdots \supset V_ k(x) \] 其中 \( V_ i(x) \) 对应指数 \( \leq \lambda_ i(x) \) 的向量，且 \( \dim V_ i(x) = \sum_ {j=i}^k m_ j(x) \)。 与熵和维数的关联 在遍历理论中，李雅普诺夫谱通过 佩辛公式 与度量熵关联：若 \( f \) 是 \( C^{1+\alpha} \) 映射且 \( \mu \) 是光滑不变测度，则： \[ h_ \mu(f) = \int \sum_ {\lambda_ i(x) > 0} \lambda_ i(x) \, m_ i(x) \, d\mu(x) \] 该式表明熵由正李雅普诺夫指数的加权和决定。此外，李雅普诺夫谱还可用于计算不变测度的豪斯多夫维数（通过杨氏公式）。 随机系统的推广 对于随机动力系统（如随机矩阵乘积），李雅普诺夫谱可通过奥塞尔莱茨定理的随机版本定义。此时指数与重数变为确定值，且与随机遍历定理结合，揭示了噪声环境下动力行为的稳定性。