复变函数的柯西-黎曼方程与可微性 可微性的基本定义 在复变函数中，函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)（其中 \( z = x + iy \)）在一点 \( z_ 0 \) 可微的定义与实函数类似： \[ f'(z_ 0) = \lim_ {h \to 0} \frac{f(z_ 0 + h) - f(z_ 0)}{h} \] 存在且有限。这里 \( h \) 是复数，因此极限需与 \( h \to 0 \) 的路径无关。这一要求比实函数更严格，因为复平面有无限多个趋近方向。 柯西-黎曼方程的推导 若 \( f(z) \) 在 \( z_ 0 = x_ 0 + iy_ 0 \) 可微，设 \( h = \Delta x + i\Delta y \)，则极限需沿实轴（\( \Delta y = 0 \)）和虚轴（\( \Delta x = 0 \)）均成立： 沿实轴：\( f'(z_ 0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} \) 沿虚轴：\( f'(z_ 0) = -i\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} \) 比较实部与虚部，得到 柯西-黎曼方程 ： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}. \] 这是复可微的必要条件。 可微性的充分条件 若 \( u, v \) 在点 \( (x_ 0, y_ 0) \) 的某邻域内连续可微（即偏导数存在且连续），且满足柯西-黎曼方程，则 \( f(z) \) 在 \( z_ 0 \) 可微。此时导数可表示为： \[ f'(z_ 0) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i\frac{\partial u}{\partial y}. \] 这一结论将复可微性与实函数的微分性质联系起来。 几何与物理意义 柯西-黎曼方程等价于 雅可比矩阵 \( J = \begin{pmatrix} u_ x & u_ y \\ v_ x & v_ y \end{pmatrix} \) 满足 \( J^T J = (u_ x^2 + v_ x^2)I \)，即变换是 保角映射 （保持角度与定向）。从物理视角，\( (u, -v) \) 构成无源无旋的向量场，与流体力学中的势流场对应。 与解析性的关系 若 \( f(z) \) 在区域 \( D \) 内每一点均可微，则称 \( f \) 在 \( D \) 内解析。柯西-黎曼方程是解析性的核心判据，例如可通过验证方程是否成立来判断函数是否解析，或构造共轭调和函数。