复变函数的全纯凸性与全纯域 我们先从全纯凸性的基本概念开始。全纯凸性描述的是复流形（特别是 ℂⁿ 中的域）的一种几何性质，它保证该域是某些全纯函数的自然定义域。为了理解全纯凸性，我们需要先了解全纯域和全纯凸包的概念。 1. 全纯域 全纯域是指一个域 𝐷 ⊂ ℂⁿ，使得对于其边界上的每一点，都存在一个在 𝐷 上全纯的函数，该函数不能解析延拓到该点的邻域。换句话说，𝐷 是某个全纯函数的极大存在域。全纯域的概念与全纯凸性紧密相连，因为全纯凸域恰好是全纯域。 2. 全纯凸包 对于域 𝐷 ⊂ ℂⁿ 和其紧子集 𝐾，𝐾 的全纯凸包定义为： 𝐾̂ = { 𝑧 ∈ 𝐷 | |𝑓(𝑧)| ≤ sup_ {𝑤∈𝐾} |𝑓(𝑤)|, ∀𝑓 在 𝐷 上全纯 }。 直观上，𝐾̂ 是通过将所有全纯函数在 𝐾 上的模最大性质“扩展”后得到的集合。如果 𝐾̂ 相对于 𝐷 是紧的（即 𝐾̂ 是 𝐷 的紧子集），则称 𝐾 在 𝐷 中是全纯凸的。 3. 全纯凸性 域 𝐷 被称为全纯凸的，如果对于 𝐷 的每个紧子集 𝐾，其全纯凸包 𝐾̂ 也是 𝐷 的紧子集。这意味着全纯函数在 𝐷 上的“控制”不会导致紧性丢失，从而 𝐷 具有某种“凸性”特征，类似于欧几里得空间中的凸性，但这里是通过全纯函数来定义的。 4. 全纯凸性与全纯域的关系 一个基本结果是：一个域是全纯凸的当且仅当它是全纯域。这表明全纯凸性提供了全纯域的几何刻画。在多复变函数中，并非所有域都是全纯域（例如，某些域存在“洞”，使得全纯函数可以跨洞延拓），全纯凸性帮助我们识别那些“完整”的域。 5. 应用与扩展 全纯凸性是复分析中研究域的结构和全纯函数延拓的重要工具。它与全纯凸包、全纯域理论以及更广泛的复几何中的伪凸性概念相关联，为理解多复变函数的定义域和性质提供了基础框架。