随机变量的变换的Lindley递推 首先，Lindley递推是一种用于分析排队系统中等待时间分布的递推方法。它特别适用于处理到达间隔时间和服务时间均为独立同分布随机变量的单服务台排队系统。该方法由D. V. Lindley在1950年代提出，通过建立相邻顾客等待时间之间的递推关系，来研究系统稳态行为。 具体来说，考虑一个GI/GI/1排队系统，即顾客到达间隔时间\(\{A_ n\}\)和服务时间\(\{S_ n\}\)均为独立同分布的随机变量序列，且相互独立。设\(W_ n\)为第\(n\)个顾客在系统中的等待时间（不包括服务时间）。Lindley递推公式为： \[ W_ {n+1} = \max\{W_ n + S_ n - A_ {n+1}, 0\} \] 这个公式表明，第\(n+1\)个顾客的等待时间等于前一个顾客的等待时间加上其服务时间，减去到达间隔时间，但至少为0（如果结果为负，表示顾客到达时系统空闲，等待时间为0）。 为了分析等待时间的极限分布，定义\(U_ n = S_ n - A_ {n+1}\)，则递推变为： \[ W_ {n+1} = \max\{W_ n + U_ n, 0\} \] 其中\(\{U_ n\}\)是独立同分布的随机变量序列。当系统负载\(\rho = \mathbb{E}[ S] / \mathbb{E}[ A] < 1\)时，存在稳态等待时间分布\(W\)，满足： \[ W \stackrel{d}{=} \max\{W + U, 0\} \] 这里\(\stackrel{d}{=}\)表示分布相等。这个方程称为Lindley积分方程，其解可以通过Wiener-Hopf方法或变换技术（如拉普拉斯-斯蒂尔切斯变换）来求解。 进一步，Lindley递推允许我们推导等待时间分布的极限行为。例如，当服务时间和到达间隔时间是指数分布时，系统退化为M/M/1队列，等待时间分布有显式解。更一般地，通过分析随机游走\(\{S_ n - A_ {n+1}\}\)的特性，可以研究重尾分布或相关结构对等待时间的影响，这在网络流量和可靠性分析中具有广泛应用。