平行曲面的高斯曲率不变性 平行曲面是微分几何中一个重要概念。给定一个曲面S和固定距离d，S的平行曲面是与S上每一点沿法线方向距离为d的点构成的曲面。我将详细解释平行曲面的高斯曲率性质。 首先，考虑一个光滑曲面S，其参数表示为r(u,v)。设n(u,v)是S的单位法向量场。那么S的平行曲面S_ d可以表示为： r_ d(u,v) = r(u,v) + d·n(u,v) 为了理解平行曲面的曲率性质，需要先回顾曲面的基本形式。曲面S的第一基本形式系数为： E = r_ u·r_ u, F = r_ u·r_ v, G = r_ v·r_ v 第二基本形式系数为： L = -r_ u·n_ u = r_ uu·n M = -r_ u·n_ v = r_ uv·n = r_ vu·n N = -r_ v·n_ v = r_ vv·n 现在，计算平行曲面S_ d的第一基本形式。对r_ d求偏导： (r_ d)_ u = r_ u + d·n_ u (r_ d)_ v = r_ v + d·n_ v 根据Weingarten方程，n_ u和n_ v可以表示为r_ u和r_ v的线性组合。具体地： n_ u = a₁₁r_ u + a₁₂r_ v n_ v = a₂₁r_ u + a₂₂r_ v 其中系数a_ ij与第二基本形式系数相关。 平行曲面S_ d的第一基本形式系数为： E_ d = (r_ d)_ u·(r_ d)_ u = E - 2dL + d²(n_ u·n_ u) 类似地可以计算F_ d和G_ d。 更关键的是高斯曲率的计算。曲面S的高斯曲率K与平均曲率H满足： K = (LN - M²)/(EG - F²) H = (EN - 2FM + GL)/(2(EG - F²)) 对于平行曲面S_ d，其高斯曲率K_ d与原始曲面S的高斯曲率K有重要关系： K_ d = K / (1 - 2Hd + Kd²) 这个公式表明，平行曲面的高斯曲率与原始曲面的高斯曲率通过一个只与d和曲率有关的因子相关联。 特别地，当原始曲面是常高斯曲率曲面时，平行曲面也保持常高斯曲率。这一性质在曲面理论和几何应用中非常重要。 平行曲面的高斯曲率不变性是曲面理论中的一个深刻结果，它将曲面的内在几何与等距变形联系起来，为理解曲面的刚性性质提供了重要工具。