对称多项式 首先，对称多项式是多元多项式中一类具有特定对称性质的多项式。具体来说，设 \(f(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n)\) 是一个 \(n\) 元多项式，如果对任意置换 \(\sigma \in S_ n\)（其中 \(S_ n\) 是 \(n\) 个元素的对称群），都有 \[ f(x_ {\sigma(1)}, x_ {\sigma(2)}, \dots, x_ {\sigma(n)}) = f(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n), \] 则称 \(f\) 是对称多项式。这种对称性意味着无论变量如何重新排列，多项式的值保持不变。 接下来，我们来看对称多项式中最基本且重要的一类：初等对称多项式。对于 \(n\) 个变量 \(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n\)，第 \(k\) 个初等对称多项式 \(e_ k\)（其中 \(1 \leq k \leq n\)）定义为所有可能的 \(k\) 个不同变量的乘积之和。具体形式为： \[ \begin{aligned} e_ 1 &= x_ 1 + x_ 2 + \cdots + x_ n, \\ e_ 2 &= x_ 1x_ 2 + x_ 1x_ 3 + \cdots + x_ {n-1}x_ n, \\ &\vdots \\ e_ n &= x_ 1x_ 2 \cdots x_ n. \end{aligned} \] 例如，当 \(n=3\) 时，\(e_ 1 = x_ 1 + x_ 2 + x_ 3\)，\(e_ 2 = x_ 1x_ 2 + x_ 1x_ 3 + x_ 2x_ 3\)，\(e_ 3 = x_ 1x_ 2x_ 3\)。这些初等对称多项式在对称多项式理论中扮演核心角色，因为它们可以生成所有对称多项式。 进一步，对称多项式基本定理指出：任何对称多项式都可以唯一地表示为初等对称多项式的多项式。也就是说，如果 \(f\) 是一个对称多项式，那么存在唯一的多项式 \(g\)，使得 \[ f(x_ 1, x_ 2, \dots, x_ n) = g(e_ 1, e_ 2, \dots, e_ n). \] 这个定理为处理对称多项式提供了强有力的工具，因为它允许我们将任意对称多项式化简为初等对称多项式的组合。 在应用方面，对称多项式与多项式的根有紧密联系。考虑一个一元多项式 \(P(t) = t^n - a_ 1 t^{n-1} + a_ 2 t^{n-2} - \cdots + (-1)^n a_ n\)，其根为 \(r_ 1, r_ 2, \dots, r_ n\)。根据Vieta公式，系数 \(a_ k\) 恰好等于第 \(k\) 个初等对称多项式在根处的值，即 \(a_ k = e_ k(r_ 1, r_ 2, \dots, r_ n)\)。因此，对称多项式在根的研究中非常有用，例如在计算根的幂和或其他对称函数时。 最后，对称多项式还扩展到更一般的对称函数，例如完全齐次对称多项式或幂和对称多项式，这些在组合数学和表示论中也有广泛应用。通过以上步骤，你可以看到对称多项式从基本定义到关键定理，再到实际应用的整体脉络，体现了其在代数中的基础地位。