傅立叶变换期权定价法 傅立叶变换期权定价法是一种基于特征函数和傅立叶分析技术的衍生品定价方法。让我为您详细解析这个重要的金融数学工具： 理论基础：特征函数 资产价格的特征函数定义为：φ(u) = E[ e^{iu ln S_ T}]，其中S_ T是到期资产价格 特征函数完全刻画了资产价格的分布特性 对于大多数金融模型（如Black-Scholes、Heston、方差伽马等），特征函数有解析表达式 傅立叶反演公式 利用特征函数，可以通过傅立叶反演恢复风险中性密度： f(S_ T) = (1/2π) ∫_ {-∞}^{∞} e^{-iu ln S_ T} φ(u) du 这为期权定价提供了概率分布基础 Carr-Madan方法（1999） 关键思路：直接对期权价格进行傅立叶变换 定义阻尼因子α > 0，确保傅立叶变换存在 看涨期权价格的傅立叶变换： ψ(v) = ∫_ {-∞}^{∞} e^{ivk} C(k) dk = e^{-rT} φ(v - (α+1)i) / [ α² + α - v² + i(2α+1)v ] 其中k = ln K，C(k)为看涨期权价格 数值实现步骤 a) 选择适当的阻尼因子α和积分范围 b) 离散化傅立叶积分，使用快速傅立叶变换(FFT) c) 计算特征函数φ(u)在离散点上的值 d) 应用FFT得到一系列执行价格对应的期权价格 余弦方法(COS方法) 改进的傅立叶定价技术，收敛速度更快 基于傅立叶余弦展开近似密度函数 期权价格表示为有限项余弦展开： V(x,t) ≈ e^{-rΔt} ∑_ {k=0}^{N-1} Re[ φ(kπ/(b-a))e^{-ikπa/(b-a)}] · ψ_ k 其中ψ_ k为支付函数的余弦系数 优势特点 适用范围广：适用于无解析解模型的期权定价 计算效率高：一次FFT计算可得到多个执行价格的期权价格 数值稳定性好：通过阻尼因子控制数值误差 易于扩展：可处理路径依赖期权和多种标的资产 这种方法将复杂的偏微分方程求解转化为特征函数计算和傅立叶反演，大大简化了复杂模型下的期权定价问题。