λ演算中的Church编码

Church编码是λ演算中表示数据和基本运算的一种方法，它仅通过函数抽象和应用来编码布尔值、自然数、配对、列表等数据结构。下面我将分步说明其核心思想与具体实现。

1. 基本约定

   • 在无类型λ演算中，所有值均为函数。Church编码利用高阶函数的行为模拟数据结构。
   • 约定：若某个值被编码为函数C，则对C输入参数f和x时，C f x应返回该值对应的特定组合（例如重复应用f于x）。

2. Church布尔值

   • 定义：
     • 真值：TRUE := λx. λy. x（选择第一个参数）
     • 假值：FALSE := λx. λy. y（选择第二个参数）
   • 布尔运算：
     • 与：AND := λp. λq. p q p（若p为真则返回q，否则返回p）
     • 或：OR := λp. λq. p p q（若p为真则返回p，否则返回q）
     • 非：NOT := λp. λx. λy. p y x（交换真假分支）

3. Church数（自然数）

   • 定义：数字n编码为函数f和参数x的n次复合：

     0 := λf. λx. x
     1 := λf. λx. f x
     2 := λf. λx. f (f x)
     n := λf. λx. f^n x
     

   • 后继函数：SUCC := λn. λf. λx. f (n f x)（在外部多应用一次f）
   • 加法：PLUS := λm. λn. λf. λx. m f (n f x)（将m次应用与n次应用连接）

4. Church配对

   • 定义：PAIR := λa. λb. λf. f a b（将两个值封装为函数，输入f时应用f到a和b）
   • 投影：
     • 取第一元素：FIRST := λp. p (λx. λy. x)
     • 取第二元素：SECOND := λp. p (λx. λy. y)

5. Church列表

   • 列表表示为右折叠结构。空表：NIL := λf. λz. z
   • cons操作：CONS := λh. λt. λf. λz. f h (t f z)（将头部h与尾部t组合为折叠函数）
   • 示例：列表[a, b]编码为CONS a (CONS b NIL)，展开为λf. λz. f a (f b z)

6. 递归与不动点组合子

   • 为实现递归操作（如阶乘），需借助不动点组合子Y := λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x))
   • 例如，定义阶乘函数：FACT := Y (λg. λn. IF (ISZERO n) 1 (MULT n (g (PRED n))))，其中ISZERO、MULT、PRED需预先用Church编码实现。

7. 意义与局限性

   • Church编码证明了λ演算可完全模拟离散数学结构，为计算理论奠定基础。
   • 缺点：实际计算效率低，且某些操作（如判断数字0）需遍历所有结构，无法提前终止。

通过以上步骤，Church编码展示了如何仅用函数抽象和应用构建完整的数据系统，体现了λ演算的计算完备性。