模的Krull维数 我们先从最基础的环的维数概念开始。一个交换诺特环 \( R \) 的 Krull 维数定义为素理想链的最大长度。具体来说，如果存在一个素理想链 \[ \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \mathfrak{p}_ 1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_ n \] 则称该链的长度为 \( n \)。环 \( R \) 的 Krull 维数是所有这样的链的长度的上确界。例如，域的 Krull 维数为 0，主理想整环（如整数环 \(\mathbb{Z}\)）的 Krull 维数为 1，多项式环 \( k[ x_ 1, \dots, x_ n ] \) 的 Krull 维数为 \( n \)。 接下来考虑模。设 \( M \) 是一个非零 \( R \)-模，其中 \( R \) 是交换诺特环。模 \( M \) 的 Krull 维数定义为商环 \( R / \operatorname{Ann}(M) \) 的 Krull 维数，其中 \( \operatorname{Ann}(M) = \{ r \in R \mid rM = 0 \} \) 是 \( M \) 的零化子。直观上，这是通过将 \( M \) 视为一个 \( R/\operatorname{Ann}(M) \)-模，从而将问题归约到环的维数。 进一步，我们可以通过模的素理想链来理解。考虑 \( M \) 的伴随素理想（即满足 \( M \) 存在子模同构于 \( R/\mathfrak{p} \) 的素理想 \( \mathfrak{p} \)），模 \( M \) 的 Krull 维数等于其所有伴随素理想的高度的上确界。这里，素理想 \( \mathfrak{p} \) 的高度是形如 \( \mathfrak{p}_ 0 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p} \) 的链的最大长度。 最后，对于局部环 \( (R, \mathfrak{m}) \) 上的有限生成模 \( M \)，其 Krull 维数也可以通过 Hilbert-Samuel 多项式来刻画。具体地，考虑长度函数 \( \ell(M/\mathfrak{m}^n M) \)，当 \( n \) 充分大时，这是一个关于 \( n \) 的多项式，其次数等于 \( M \) 的 Krull 维数。这提供了计算模的 Krull 维数的一种代数方法。