复变函数的法图域与动力系统 我们先从基本概念开始。法图域是复动力系统中一个核心概念，它与有理函数迭代的稳定行为密切相关。让我们分步理解这个概念。 1. 有理函数迭代的基础 考虑一个有理函数 \( R(z) = \frac{P(z)}{Q(z)} \)，其中 \( P, Q \) 是多项式。我们研究这个函数的迭代过程：从某点 \( z_ 0 \) 开始，定义轨道为： \[ z_ 0, z_ 1 = R(z_ 0), z_ 2 = R(z_ 1) = R^2(z_ 0), \dots, z_ n = R^n(z_ 0) \] 这里 \( R^n \) 表示函数的 \( n \) 次复合。理解这个迭代过程的长期行为是复动力系统的核心问题。 2. 法图集与茹利亚集 对于有理函数 \( R \)，扩充复平面 \( \hat{\mathbb{C}} \) 被划分为两个互不相交的子集： 法图集 \( F(R) \) ：使得迭代序列 \( \{R^n\} \) 在某个邻域内正规的点集 茹利亚集 \( J(R) \) ：使得迭代序列 \( \{R^n\} \) 不正规的点集 这里需要理解正规族的精确定义：函数族 \( \{f_ n\} \) 在点 \( z_ 0 \) 正规是指存在 \( z_ 0 \) 的邻域，使得 \( \{f_ n\} \) 在该邻域内构成正规族（即每个序列都有局部一致收敛的子序列）。 3. 法图域的基本性质 法图集 \( F(R) \) 具有以下重要特征： 是完全开集（由定义直接可得） 是不变集：\( R(F(R)) = F(R) = R^{-1}(F(R)) \) 由连通分支组成，每个连通分支称为一个 法图域 在法图域上，迭代序列 \( \{R^n\} \) 表现出规则、稳定的行为 4. 法图域的分类 法图域可以根据其动力学行为进行分类： (1) 周期域 吸性域 ：包含吸性周期点 \( z_ 0 \)（即 \( |R'(z_ 0)| < 1 \)），在该域内所有轨道都收敛到该周期点 超吸性域 ：吸性域的特例，此时 \( R'(z_ 0) = 0 \)，收敛速度更快 抛性域 ：包含抛性周期点 \( z_ 0 \)（即 \( R'(z_ 0) = e^{2\pi i\theta} \)，θ为有理数），具有特定的旋转结构 (2) 游荡域 非周期的法图域，即存在点 \( z \)，使得 \( R^n(z) \) 在不同的法图域中。Sullivan 的著名定理表明：对于有理函数，不存在游荡域。 5. 法图域的边界特性 每个法图域的边界正好是茹利亚集 \( J(R) \)。这一性质极为重要： 茹利亚集是完全不连通的闭集 法图域是茹利亚集的补集的连通分支 茹利亚集在法图域的边界上具有某种"自相似"结构 6. 典型例子：二次多项式 考虑 \( R(z) = z^2 + c \)，其中 \( c \) 是复参数。 当 \( c = 0 \) 时： 茹利亚集是单位圆周 \( |z| = 1 \) 法图集由两个法图域组成：\( |z| < 1 \)（吸性域，吸引到 0）和 \( |z| > 1 \)（吸性域，吸引到 ∞） 当 \( c \) 取其他值时，法图域的结构变得复杂，形成了著名的芒德布罗集所描述的图案。 7. 法图域的理论意义 法图域理论将复分析、动力系统和遍历论联系起来： 在法图域上，动力行为是规则和可预测的 在茹利亚集上，动力行为是混沌的 法图域的个数可以是 0、1、2 或无穷多个 Sullivan 的游荡域定理是复动力系统的里程碑成果 理解法图域有助于我们认识有理函数迭代的全局结构，也为研究更一般的复动力系统提供了基础框架。