复变函数的全纯自同构群 全纯自同构群是复变函数论中研究几何对称性的重要概念。让我从基本定义开始，逐步深入讲解这个主题。 1. 基本定义 全纯自同构群Aut(Ω)是区域Ω上所有双全纯映射f: Ω→Ω构成的群，其中群运算是映射的复合。双全纯映射是指全纯、单射且逆映射也全纯的映射。这个群实际上描述了区域在复平面上的对称性结构。 2. 具体例子 考虑单位圆盘D={z∈ℂ: |z| <1}，它的全纯自同构群由所有分式线性变换构成： φ(z)=e^(iθ)(z-a)/(1-āz)，其中a∈D，θ∈ℝ 这个群是3维的，由参数a(2维)和θ(1维)决定。当a=0时，就是简单的旋转。 3. 黎曼映射定理的联系 根据黎曼映射定理，任何单连通区域(非整个复平面)都双全纯等价于单位圆盘。因此，它们的全纯自同构群是同构的。但需注意，同构是作为拓扑群同构，具体实现方式依赖于具体的共形映射。 4. 复平面和扩充复平面的情况 整个复平面ℂ的自同构群由仿射变换z↦az+b构成(a≠0)。而扩充复平面ℂ̂=ℂ∪{∞}的自同构群就是Möbius变换群，由所有分式线性变换z↦(az+b)/(cz+d)构成(ad-bc≠0)。 5. 群结构分析 全纯自同构群具有李群结构。对于单位圆盘，Aut(D)同构于PSU(1,1)=SU(1,1)/{±I}，其中SU(1,1)是保持双线性形式|z₁|²-|z₂|²不变的2×2复矩阵群。这个李群是3维非紧的。 6. 边界行为 自同构映射可以延拓到边界。对于单位圆盘，任何自同构都能延拓为圆周到自身的同胚。这种边界对应关系在研究区域的几何性质时非常重要。 7. 分类定理 单连通区域的全纯自同构群只有三种类型： 单位圆盘：3维非紧群 复平面：2维非紧群 扩充复平面：3维紧群(与旋转群局部同构) 8. 多连通区域情况 对于多连通区域，自同构群可能离散。例如，环域的自同构群由旋转和可能的反演生成，通常是有限群或循环群。 9. 不变度量关系 全纯自同构群是双曲度量(庞加莱度量)的等距群。在单位圆盘上，庞加莱度量ds=2|dz|/(1-|z|²)在所有自同构下保持不变。 10. 应用价值 全纯自同构群在几何函数论、Teichmüller理论、复动力系统中都有重要应用。它提供了研究区域刚性和对称性的有力工具，也是理解复流形自同构群的基础。