数学物理方程中的变分原理
变分原理是数学物理中一个深刻而强大的工具。它的核心思想是：许多物理定律可以表述为某个量（通常是某个“作用量”或“能量”）取极值（通常是极小值）的状态。让我们从最基础的概念开始，逐步深入。
第一步：从函数的极值到泛函的极值
- 函数的极值（回顾）：在微积分中，我们学习如何寻找一个函数 \(f(x)\) 的极值点。我们通过求导数并令其为零来找到临界点：\(f'(x) = 0\)。这表示在极值点附近，函数的一阶变化量为零。
- 泛函的引入：现在，我们考虑一个更复杂的对象——泛函。泛函不是一个函数到数值的映射，而是一个函数到数值的映射。换句话说，它的输入是一个完整的函数 \(y(x)\)，输出是一个数 \(J\)。
- 例子：曲线 \(y(x)\) 从点 \(A(x_1, y_1)\) 到点 \(B(x_2, y_2)\) 的弧长是一个泛函：
\[ J[y(x)] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]
对于不同的曲线 \(y(x)\)，我们会得到不同的弧长数值 \(J\)。
第二步：变分法与欧拉-拉格朗日方程
- 变分问题：变分法的核心问题是：在所有满足一定边界条件（例如 \(y(x_1) = y_1\)，\(y(x_2) = y_2\) ）的函数中，哪一个函数 \(y(x)\) 能使泛函 \(J[y]\) 达到极值？
- 一阶变分：类似于函数极值中“一阶导数为零”，泛函取极值的必要条件是它的一阶变分为零。变分可以理解为函数本身发生微小改变（而不是自变量的改变）。我们考虑一个微小的扰动 \(\epsilon \eta(x)\)，其中 \(\eta(x)\) 是任意一个在端点为零（保证边界条件）的光滑函数，\(\epsilon\) 是一个小参数。我们构造一个新的函数 \(Y(x, \epsilon) = y(x) + \epsilon \eta(x)\)。那么泛函 \(J[Y]\) 就变成了参数 \(\epsilon\) 的函数。极值条件要求：
\[ \frac{d}{d\epsilon} J[Y(x, \epsilon)] \bigg|_{\epsilon=0} = 0 \]
- 欧拉-拉格朗日方程：对于最常用的一类泛函（积分型泛函）：
\[ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y(x), y'(x)) dx \]
其中 \(F\) 是已知函数。通过计算上述一阶变分为零的条件，我们可以推导出著名的欧拉-拉格朗日方程：
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0 \]
这是一个决定极值函数 \(y(x)\) 的微分方程。使得泛函取极值的函数必须满足这个方程。
第三步：变分原理在物理中的应用实例
- 最速降线问题（历史起源）：这是在所有连接两点的曲线中，寻找质点仅受重力作用下滑落所需时间最短的那条曲线。这里的泛函是时间 \(T[y]\)。应用欧拉-拉格朗日方程，可以解出这条曲线是一条摆线。
- 经典力学（哈密顿原理）：这是变分原理最著名的应用。对于一个力学系统，我们定义作用量 \(S\) 为拉格朗日函数 \(L\)（动能减势能）对时间的积分：
\[ S[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t), \dot{\mathbf{q}}(t), t) dt \]
其中 \(\mathbf{q}(t)\) 是广义坐标的集合。哈密顿原理表述为：系统在 \(t_1\) 和 \(t_2\) 时刻的真实运动路径 \(\mathbf{q}(t)\)，是使作用量 \(S\) 取极值（通常是极小值）的那条路径。对这个作用量应用欧拉-拉格朗日方程，我们直接得到拉格朗日方程：
\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 \]
这意味着整个牛顿力学的规律可以被一个简洁的变分原理所概括。
第四步：从常微分到偏微分：多变量与场
- 多变量函数的泛函：当未知函数是多元函数时，例如 \(u(x, y)\)，泛函通常是多重积分。例如，一个薄膜的势能可以表示为：
\[ J[u] = \iint_{\Omega} \left[ \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 \right] dx dy \]
- 多变量欧拉-拉格朗日方程：对于依赖于多元函数及其偏导数的泛函 \(J[u] = \int_{\Omega} F(x, y, u, u_x, u_y) dx dy\)，极值函数 \(u(x, y)\) 满足的方程是：
\[ \frac{\partial F}{\partial u} - \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial F}{\partial u_x} \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial F}{\partial u_y} \right) = 0 \]
这是一个偏微分方程。
- 场的变分原理：在连续介质力学和场论（如电磁场、引力场、量子场）中，物理规律通常由一个作用量密度的泛函来描述。例如，静电场的规律可以从一个作用量泛函的极值导出，这个泛函的欧拉-拉格朗日方程就是泊松方程。同样，爱因斯坦的引力场方程（广义相对论）也可以从一个叫做“爱因斯坦-希尔伯特作用量”的变分原理推导出来。
总结
变分原理为我们理解物理规律提供了一个统一、深刻和优美的框架。它将物理定律表述为一种“最经济”或“最优化”的原则。从寻找最短路径，到推导整个宇宙中物体与场的运动方程，变分法通过“一阶变分为零”这个核心思想，将极值问题从有限维的函数空间推广到了无限维的函数空间（泛函），成为了连接数学与物理的一座坚实桥梁。