平行轴定理 平行轴定理是刚体力学中用于计算转动惯量的重要工具。我将从基础概念开始，逐步解释这一定理。 转动惯量的基本概念 转动惯量（也称惯性矩）是描述刚体绕轴转动时惯性大小的物理量。其定义为：\( I = \sum m_ i r_ i^2 \)（离散质量系统）或 \( I = \int r^2 \, dm \)（连续物体），其中 \( r \) 是质点到转轴的垂直距离。 例如，一个质量为 \( m \)、半径为 \( R \) 的均匀薄圆环，绕其中心轴转动的转动惯量为 \( I_ {\text{中心}} = mR^2 \)。 质心与质心轴的转动惯量 质心是物体质量分布的中心点。质心轴是通过质心的转轴。 质心轴的转动惯量 \( I_ {\text{cm}} \) 是计算其他平行轴转动惯量的基准。例如，均匀细杆绕通过其质心且垂直于杆的轴转动时，\( I_ {\text{cm}} = \frac{1}{12} m L^2 \)（\( L \) 为杆长）。 平行轴定理的表述 若刚体对质心轴的转动惯量为 \( I_ {\text{cm}} \)，则对任意与质心轴平行的轴，其转动惯量为： \[ I = I_ {\text{cm}} + m d^2 \] 其中 \( m \) 为刚体总质量，\( d \) 为两轴之间的垂直距离。 该定理表明，转动惯量在平行轴中最小的是质心轴，其他平行轴的转动惯量均大于 \( I_ {\text{cm}} \)。 定理的推导过程 建立坐标系：设质心轴为 \( z \)-轴，平行轴为 \( z' \)-轴，两轴间距为 \( d \)。 对质量元 \( dm \)，其到 \( z \)-轴的距离为 \( r \)，到 \( z' \)-轴的距离为 \( r' \)。由几何关系：\( r'^2 = r^2 + d^2 - 2 d x \)（假设 \( z' \)-轴在 \( x \)-方向偏移 \( d \)）。 代入转动惯量定义： \[ I = \int r'^2 \, dm = \int (r^2 + d^2 - 2 d x) \, dm \] 分解计算： \( \int r^2 \, dm = I_ {\text{cm}} \)（质心轴转动惯量）， \( \int d^2 \, dm = m d^2 \)， \( \int (-2 d x) \, dm = -2 d \int x \, dm = 0 \)（因质心在原点，\( \int x \, dm = 0 \)）。 最终得：\( I = I_ {\text{cm}} + m d^2 \). 应用实例 均匀细杆绕一端转动：质心轴转动惯量 \( I_ {\text{cm}} = \frac{1}{12} m L^2 \)，端轴与质心轴距离 \( d = L/2 \)。代入定理： \[ I = \frac{1}{12} m L^2 + m \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} m L^2 \] 实心圆盘绕边缘平行轴转动：质心轴转动惯量 \( I_ {\text{cm}} = \frac{1}{2} m R^2 \)，平行轴距离 \( d = R \)，则： \[ I = \frac{1}{2} m R^2 + m R^2 = \frac{3}{2} m R^2 \] 注意事项与局限性 定理仅适用于质心轴与平行轴之间的转换，非质心轴之间不能直接使用。 对于复合物体，需先计算总质心及整体 \( I_ {\text{cm}} \)，再应用定理。 通过以上步骤，平行轴定理将转动惯量的计算简化为质心轴转动惯量与平移项的叠加，广泛应用于工程和物理学的刚体动力学分析。