量子力学中的Weyl不变性 我将为您系统讲解量子力学中Weyl不变性的数学理论。这个概念与对称性和尺度变换密切相关，是理解量子系统在尺度变换下行为的重要工具。 1. 经典尺度变换与Weyl变换 在微分几何中，Weyl变换是指对度规进行局域尺度变换：gₐᵦ(x) → e^(2σ(x))gₐᵦ(x)，其中σ(x)是时空点的实函数。这种变换保持角度不变但改变长度，是共形变换的推广。在经典物理中，这种变换改变了物理系统的尺度。 2. 量子力学中的Weyl不变性 在量子力学中，Weyl不变性指系统的物理观测量在Weyl变换下保持不变的性质。具体来说，如果哈密顿量H在Weyl变换下满足特定不变条件，则称系统具有Weyl不变性。这要求系统的拉格朗日量密度L在变换下至多改变一个全导数项，从而保证作用量S=∫Ld⁴x的不变性。 3. 尺度维度与Weyl权重 每个场算符在Weyl变换下都有确定的尺度维度Δ。标量场φ变换为φ → e^(-Δσ)φ，其中Δ称为Weyl权重。在d维时空中，自由标量场的经典尺度维度为Δ=(d-2)/2。量子修正会改变这个值，产生反常维度。 4. Weyl反常与迹反常 在量子水平上，Weyl不变性通常会被破坏，这种现象称为Weyl反常或迹反常。即使经典理论具有Weyl不变性，量子效应也可能导致这种对称性被破坏。迹反常表现为能量-动量张量的迹不再为零：⟨Tᵐₘ⟩ = (c/16π²)CᵃᵦᵧδCᵃᵦᵧδ + ...，其中c是中心荷，Cᵃᵦᵧδ是Weyl张量。 5. Weyl不变性的数学表述 数学上，Weyl不变性可以通过Ward恒等式表述。对于关联函数⟨φ₁(x₁)...φₙ(xₙ)⟩，Weyl不变性要求： δ/δσ(x)⟨φ₁(x₁)...φₙ(xₙ)⟩ = ∑ᵢ δ(x-xᵢ)Δᵢ⟨φ₁(x₁)...φₙ(xₙ)⟩ 当存在反常时，右边会多出一个反常项A(x)。 6. 共形场论中的Weyl不变性 在共形场论中，Weyl不变性与共形不变性紧密相关。d=2维时的共形场论特别重要，此时Weyl代数无限维，由Virasoro代数描述。中心荷c完全表征了理论的局域性质。 7. 应用与物理意义 Weyl不变性在量子引力、弦理论和临界现象研究中至关重要。它约束了关联函数的形式，决定了临界指数之间的关系，并在AdS/CFT对偶中起核心作用。理解Weyl不变性及其破缺是研究量子系统尺度行为的关键数学工具。