随机规划中的序贯决策与近似动态规划 我们来探讨随机规划中一个关键方法：如何通过近似动态规划处理序贯决策问题。我将从基础概念开始，逐步深入到具体算法和实际应用。 问题背景与基本框架 在随机规划中，序贯决策问题通常建模为多阶段决策过程。决策者在每个阶段观察系统状态，做出决策，随后观察到随机事件的实现，系统转移到新状态。目标是找到决策策略，使总期望成本最小化（或收益最大化）。精确求解这类问题的“维数灾难”使得近似方法成为必要。 动态规划基础回顾 动态规划通过值函数（value function）描述最优成本。定义贝尔曼方程： V_ t(s_ t) = min_ {x_ t ∈ X_ t} [ C_ t(s_ t, x_ t) + E[ V_ {t+1}(s_ {t+1}) | s_ t, x_ t ] ] 其中V_ t(s_ t)是t阶段状态s_ t下的最优值函数，C_ t是即时成本，期望基于状态转移概率。精确求解需要计算所有可能状态的值，在状态空间大时不可行。 近似动态规划核心思想 ADP通过以下方式突破维数灾难： 用近似值函数Ṽ代替精确值函数V 基于模拟样本路径更新参数 使用函数逼近器（如线性模型、神经网络）压缩值函数表示 关键转变：从“状态空间遍历”变为“在模拟中学习” 值函数逼近方法 常用逼近架构包括： 线性模型：Ṽ(s) = Σ φ_ i(s)θ_ i，其中φ_ i为基函数，θ_ i为权重参数 神经网络：适合捕捉非线性关系 表格表示：适用于状态空间可离散化情况 基函数选择至关重要，应捕捉状态的关键特征（如库存水平、资源剩余量） 算法实现：近似值迭代 基本步骤如下： (1) 初始化近似值函数Ṽ^0_ t ∀t (2) 对迭代n=1,...,N： 生成样本路径ω^n 对每个阶段t=T-1,...,0（反向时序）： v̂_ t^n = min_ {x_ t} [ C_ t(s_ t^n, x_ t) + Ṽ^{n-1} {t+1}(s {t+1}) ] 更新逼近参数使Ṽ^n_ t更好拟合v̂_ t^n (3) 输出最终策略 参数更新技术 常用方法包括： 时序差分学习：基于贝尔曼误差梯度下降 最小二乘法：求解使拟合误差最小的参数 随机梯度下降：在线处理样本数据 例如，线性模型的参数更新：θ ← θ - α[ Ṽ(s) - v̂ ]φ(s) 策略优化方式 主要分为： 值函数逼近：间接通过近似值函数产生决策 策略函数逼近：直接参数化策略π(s|θ) 演员-评论家方法：结合两者，评论家评估当前策略，演员改进策略 收敛性分析 ADP收敛性依赖： 逼近架构的表达能力 探索与开发的平衡 学习率调度 在凸性条件下可证收敛，但一般情况多为启发式保证 实际应用考虑 关键实施问题： 步长选择：常采用1/n衰减或常数小步长 探索策略：ε-贪婪、Boltzmann探索等 计算负载管理：平衡模拟次数与更新质量 性能验证：与基准策略比较，置信区间评估 这种将经典动态规划与函数逼近、统计学习结合的方法，使复杂序贯决策问题的实际求解成为可能，特别适合资源分配、库存管理、金融期权定价等应用领域。