好的，我们开始学习新的词条：复分析中的“留数定理”（Residue Theorem）。
留数定理是复分析中一个核心且强大的工具，它深刻地连接了复函数在孤立奇点处的局部性质与沿闭合路径的全局积分。
第1步：背景回顾与动机——柯西积分定理的局限性
我们从一个已知的基石开始：柯西积分定理。它告诉我们，如果一个复变函数 f(z) 在一个单连通区域 D 内是全纯的（即可导的），那么它沿该区域内任意一条闭合曲线 γ 的积分都为零：
\[\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \]
但现实情况往往更复杂。如果函数 f(z) 在区域 D 内有一个或多个奇点（即函数不解析的点，如 1/z 在 z=0 处），那么柯西积分定理就不再适用。例如，我们知道：
\[\oint_{|z|=1} \frac{1}{z} \, dz = 2\pi i \neq 0 \]
这个非零的结果暗示着，奇点“捕获”了某种积分值。留数定理正是为了系统化地处理这种情况而诞生的。它的核心思想是：一个闭合路径积分值，完全由该路径所包围的各个奇点处的某个局部量（即“留数”）的总和决定。
第2步：理解核心概念——“留数”是什么？
要理解留数定理，必须先理解“留数”。
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孤立奇点：首先，我们考虑的是孤立奇点。这意味着存在一个点 z₀，使得函数 f(z) 在 z₀ 的一个去心邻域（即一个不包括 z₀ 本身的小圆盘）内是全纯的。常见的孤立奇点类型有：
- 可去奇点：例如 sin(z)/z 在 z=0 处。函数在该点无定义，但可以定义一个新值使其连续且可导。
- 极点：例如 1/zⁿ (n为正整数) 在 z=0 处。函数在该点趋于无穷。
- 本性奇点：例如 e¹/ᶻ 在 z=0 处。函数在该点附近的行为极其复杂。
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洛朗级数：在孤立奇点 z₀ 的去心邻域内，任何全纯函数 f(z) 都可以展开成一个称为洛朗级数的幂级数：
\[ f(z) = \cdots + \frac{a_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{a_{-1}}{(z-z_0)} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots \]
这个级数包含了负幂次项，这是与泰勒级数的关键区别。
- 留数的定义：在洛朗级数展开中，(z - z₀)⁻¹ 这一项的系数 a₋₁ 被称为函数 f(z) 在奇点 z₀ 处的留数。记作：
\[ \operatorname{Res}(f, z_0) = a_{-1} \]
**为什么这个系数如此特殊？** 回顾我们最初的例子：函数 1/z 在 z=0 处的洛朗级数就是它本身。其 (z-0)⁻¹ 项的系数是 1。而我们都知道 ∮ 1/z dz = 2πi。这强烈暗示了留数与积分之间的直接联系。
第3步：留数定理的表述与理解
现在我们可以正式提出这个定理。
留数定理：
设 f(z) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z₁, z₂, ..., zₙ 外是全纯的。令 γ 是 D 内一条可求长的简单闭合曲线（即不自交），其内部区域完全包含于 D，并且包围了这些奇点（但不经过它们）。那么，f(z) 沿 γ 的积分满足：
\[\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Res}(f, z_k) \]
解读：
这个公式非常优美且强大。它将一个复杂的全局积分（左边）简化为一个简单的算术计算（右边）。你只需要：
- 找出被积分路径 γ 所包围的所有孤立奇点。
- 分别计算每个奇点处的留数。
- 将所有这些留数相加，再乘以 2πi，就得到了积分的最终结果。
它就像是柯西积分定理的“加权”版本：如果区域内没有奇点，所有留数为零，结果就是柯西定理的 0；如果有奇点，每个奇点都贡献其特定的“权重”（留数）来决定积分值。
第4步：如何实际计算留数？——实用技巧
理论很完美，但我们需要具体的方法来计算留数，特别是对于极点。
- 一阶极点（单极点）：
如果 z₀ 是 f(z) 的一个一阶极点，那么有一个非常简便的公式：
\[ \operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z) \]
**例子**：求 f(z) = eᶻ / (z²+1) 在 z = i 处的留数。
* z²+1 = (z-i)(z+i)，所以 z=i 是一阶极点。
* 应用公式：Res(f, i) = lim_{z→i} (z-i) * [eᶻ / ((z-i)(z+i))] = lim_{z→i} eᶻ/(z+i) = eⁱ / (2i)。
- m阶极点：
如果 z₀ 是 f(z) 的一个 m 阶极点，计算公式稍复杂一些：
\[ \operatorname{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[ (z - z_0)^m f(z) \right] \]
**例子**：求 f(z) = eᶻ / z³ 在 z=0 处的留数。
* z=0 是一个三阶极点 (m=3)。
* 应用公式：Res(f, 0) = (1/2!) lim_{z→0} d²/dz² [z³ * (eᶻ/z³)] = (1/2) lim_{z→0} d²/dz² [eᶻ] = (1/2) lim_{z→0} eᶻ = 1/2。
- 本性奇点：
对于本性奇点，通常没有简单的公式，必须通过其他方法（如利用已知的级数展开，如 e¹/ᶻ）找到其洛朗级数，然后直接读出 a₋₁ 项。
第5步：一个完整的计算示例
让我们计算一个实积分来展示留数定理的威力：求 ∫₀^{2π} dθ / (2 + cosθ)。
- 将实积分化为复积分：
这是三角函数积分的一个标准技巧。我们设 z = eⁱᶿ，那么 dθ = dz/(iz)，且 cosθ = (z + z⁻¹)/2。
当 θ 从 0 走到 2π 时，z 在单位圆 |z|=1 上逆时针绕行一周。
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos\theta} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{2 + \frac{z + z^{-1}}{2}} \cdot \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{1}{\frac{4 + z + z^{-1}}{2}} \cdot \frac{dz}{iz} \]
\[ = \oint_{|z|=1} \frac{2}{4 + z + z^{-1}} \cdot \frac{dz}{iz} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{z(4 + z + 1/z)} \cdot \frac{dz}{i} = \oint_{|z|=1} \frac{2}{4z + z^2 + 1} \cdot \frac{dz}{i} \]
化简后得到：
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos\theta} = \frac{2}{i} \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2 + 4z + 1} \]
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应用留数定理：
令 f(z) = 1/(z² + 4z + 1)。我们需要计算 f(z) 沿单位圆的积分。首先找出被单位圆包围的奇点（即分母的根）。
解 z² + 4z + 1 = 0，得到 z = -2 ± √3。
数值上，z₁ = -2 + √3 ≈ -0.268， z₂ = -2 - √3 ≈ -3.732。
只有 z₁ 的模小于 1，位于单位圆内。z₂ 在单位圆外。所以积分路径内只有一个奇点 z₁。它是一个一阶极点。 -
计算留数：
使用一阶极点公式：
\[ \operatorname{Res}(f, z_1) = \lim_{z \to z_1} (z - z_1) f(z) = \lim_{z \to z_1} \frac{z - z_1}{z^2 + 4z + 1} \]
由于 z₁ 是分母的一阶根，分母可写为 (z - z₁)(z - z₂)。所以：
\[ \operatorname{Res}(f, z_1) = \lim_{z \to z_1} \frac{z - z_1}{(z - z_1)(z - z_2)} = \frac{1}{z_1 - z_2} \]
z₁ - z₂ = (-2+√3) - (-2-√3) = 2√3。
因此，Res(f, z₁) = 1/(2√3)。
- 得到最终结果：
根据留数定理：
\[ \oint_{|z|=1} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \operatorname{Res}(f, z_1) = 2\pi i \cdot \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\pi i}{\sqrt{3}} \]
代回原式：
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{2 + \cos\theta} = \frac{2}{i} \cdot \frac{\pi i}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \]
这样，一个看似复杂的实积分就被巧妙地解决了。
总结
留数定理是复分析皇冠上的明珠之一。它从一个简单的问题（如何处理有奇点的闭合积分）出发，通过引入“留数”这一精妙的局部概念，将复杂积分转化为代数计算。其应用远不止于计算复积分，它还极大地简化了各类实积分（如三角函数积分、无穷积分）的计算，并在物理学、工程学等众多领域有深远影响。它的诞生，标志着我们对复函数积分行为的理解达到了一个全新的高度。