幂零元 我们先从幂零元的基本定义开始。 一个元素 \( x \) 在环 \( R \) 中称为 幂零元 ，如果存在某个正整数 \( n \)，使得 \[ x^n = 0 \] 其中 \( 0 \) 是环的加法单位元。最小的这样的 \( n \) 称为该幂零元的 幂零指数 。 例子 在环 \( \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \) 中，元素 \( 2 \) 满足 \( 2^2 = 4 \equiv 0 \pmod{4} \)，所以它是幂零元，幂零指数为 2。 在矩阵环 \( M_ 2(\mathbb{R}) \) 中，矩阵 \[ A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \] 满足 \( A^2 = 0 \)，所以它是幂零元。 在多项式环 \( \mathbb{Z}[ x ]/(x^2) \) 中，\( x \) 是幂零元，因为 \( x^2 = 0 \)。 性质 1：幂零元与环的单位元 如果环有乘法单位元 \( 1 \)，那么幂零元不可能是单位（可逆元）。 证明：若 \( x \) 幂零且可逆，设 \( x^n = 0 \)，则 \( 1 = x^n (x^{-1})^n = 0 \)，矛盾。 性质 2：幂零元的和与积 两个幂零元的乘积仍是幂零元：设 \( a^m = 0, b^n = 0 \)，则 \( (ab)^{\max(m,n)} = 0 \)。 两个幂零元的和不一定幂零，但如果它们可交换（即 \( ab = ba \)），则 \( a+b \) 幂零。 证明思路：由二项式定理，\( (a+b)^{m+n-1} \) 展开后每一项都含有 \( a^i b^j \) 且 \( i+j \ge m+n-1 \)，所以 \( i \ge m \) 或 \( j \ge n \)，于是该项为 0。 幂零理想 如果一个理想 \( I \) 的所有元素都是幂零元，则称 \( I \) 为幂零理想。更严格地，如果存在正整数 \( k \) 使得 \( I^k = 0 \)（即任意 \( k \) 个 \( I \) 中元素的乘积为 0），则称 \( I \) 是幂零理想。 注意：所有元素分别幂零并不自动推出理想幂零（反例需在非诺特环中找），但在诺特环中，若理想由幂零元生成，则它是幂零的（这是 Nakayama 引理相关结论）。 幂零根（或称 Nilradical） 环 \( R \) 的所有幂零元的集合 \[ \operatorname{Nil}(R) = \{ x \in R \mid \exists n \ge 1, x^n = 0 \} \] 构成一个理想，称为幂零根。 事实上，\(\operatorname{Nil}(R)\) 等于 \( R \) 的所有素理想的交。 证明概要：若 \( x \) 幂零，则对任意素理想 \( P \)，由 \( x^n = 0 \in P \) 得 \( x \in P \)。反之，若 \( x \) 不在任何素理想中，则 \( x \) 可逆（在局部化中看），从而非幂零。 与 Jacobson 根的关系 Jacobson 根是所有极大理想的交，而幂零根是所有素理想的交，所以 \[ \operatorname{Nil}(R) \subseteq J(R) \] 在交换环情形，若 \( R \) 是 Artin 环，则 \(\operatorname{Nil}(R) = J(R)\) 且它是幂零理想。 应用 幂零元在代数几何中对应到无穷小邻域：在概形 \( \operatorname{Spec} R \) 中，幂零元表示函数在某个闭子概形上为零，但在“无穷小厚度”上非零。这用于定义切空间、形变理论等。