随机变量的变换的序贯蒙特卡洛方法 基础概念铺垫 序贯蒙特卡洛方法的核心是通过动态更新的加权粒子集合来近似随时间演变的概率分布。假设我们有一组粒子 \( \{x_ t^{(i)}\} {i=1}^N \)，每个粒子携带权重 \( w_ t^{(i)} \)，这些权重满足归一化条件 \( \sum_ i w_ t^{(i)} = 1 \)。该方法的核心目标是递推地逼近后验分布 \( p(x {0:t} | y_ {1:t}) \)，其中 \( x_ {0:t} \) 表示从初始时刻到当前时刻的隐状态序列，\( y_ {1:t} \) 是观测序列。 重要性采样与权重的递推更新 从时刻 \( t-1 \) 到 \( t \)，权重的更新遵循重要性采样的原理。若提议分布为 \( q(x_ {0:t} | y_ {1:t}) \)，则权重递推公式为： \[ w_ t^{(i)} \propto w_ {t-1}^{(i)} \cdot \frac{p(y_ t | x_ t^{(i)}) p(x_ t^{(i)} | x_ {t-1}^{(i)})}{q(x_ t^{(i)} | x_ {0:t-1}^{(i)}, y_ {1:t})} \] 这一步骤通过融入新观测值 \( y_ t \) 和状态转移概率 \( p(x_ t | x_ {t-1}) \)，动态调整粒子的重要性权重。 重采样技术解决粒子退化问题 随着时间推移，少数粒子可能占据绝大多数权重，导致粒子集合的多样性丧失。重采样通过根据权重复制高权重粒子、淘汰低权重粒子来平衡粒子分布。具体操作包括： 从当前粒子集合中以多项式分布抽样新粒子集 \( \{\tilde{x}_ t^{(i)}\} \)，其概率与权重 \( w_ t^{(i)} \) 成正比。 将新粒子集的权重重置为 \( 1/N \)，确保所有粒子在下一轮迭代中具有平等的初始重要性。 算法流程与收敛性保证 完整的序贯重要性重采样算法包含以下循环步骤： 预测 ：根据状态转移模型 \( p(x_ t | x_ {t-1}) \) 传播粒子状态； 更新 ：利用观测似然 \( p(y_ t | x_ t) \) 计算新权重； 重采样 ：当有效粒子数 \( N_ {\text{eff}} = 1 / \sum (w_ t^{(i)})^2 \) 低于阈值时触发重采样。 在粒子数 \( N \to \infty \) 的条件下，该方法能以概率1收敛到真实后验分布，其误差界与 \( 1/\sqrt{N} \) 成正比。 应用场景与扩展 该方法广泛用于非线性非高斯系统的状态估计（如目标跟踪、机器人定位）。其变种包括： 正则化重采样 ：通过核密度估计平滑粒子分布，减少重采样引入的离散性误差； 辅助粒子滤波 ：在重采样前预评估粒子与观测的匹配度，提升采样效率； 粒子平滑器 ：通过前向-后向传递处理整个时间序列，改进历史状态估计精度。