模的Tor函子

字数 820 2025-11-12 20:56:53

模的Tor函子

我们先从模的张量积概念开始。设R是一个环，M和N是右R-模和左R-模。它们的张量积M⊗₍R₎N是一个阿贝尔群，通过将形式乘积m⊗n(m∈M, n∈N)进行双线性关系商掉而得到。这个构造是函子性的：给定模同态f:M→M'，我们得到同态f⊗id: M⊗N → M'⊗N。
一个重要观察是：张量积函子-⊗N不一定是正合的。具体来说，如果0→A→B→C→0是正合序列，那么经过-⊗N作用后，我们只能得到正合序列A⊗N → B⊗N → C⊗N → 0，但第一个映射不一定单。这引出了平坦模的概念：如果-⊗N是正合函子，则称N是平坦模。
为了测量一个模偏离平坦模的程度，我们引入Tor函子。固定一个模N，对任意模M，取它的一个投射分解：... → P₁ → P₀ → M → 0，其中所有Pᵢ是投射模。去掉M项后，与N作张量积得到复形：... → P₁⊗N → P₀⊗N → 0。
Tor函子定义为这个复形的同调群：Torₙᴿ(M,N) = Hₙ(Pₖ⊗N)。可以证明这个定义与投射分解的选择无关。特别地，Tor₀ᴿ(M,N) ≅ M⊗N。
Tor函子具有重要的对称性：Torₙᴿ(M,N) ≅ Torₙᴿ(N,M)。这意味着我们也可以用N的投射分解来计算Tor函子。这种对称性反映了张量积运算的内在对称性质。
在计算中，Tor函子有一个重要性质：如果N是平坦模，那么对所有n>0，Torₙᴿ(M,N) = 0。特别地，投射模和平坦模都有这个性质。这个性质可以用来检测模的平坦性。
Tor函子在交换代数中有重要应用。例如，如果R是诺特环，M是有限生成R-模，那么M是平坦模当且仅当对所有极大理想m，Tor₁ᴿ(M,R/m) = 0。这给出了平坦性的一个实用判别法。
在正则环上，Tor函子与模的投射维数有密切联系。一个模M的投射维数不超过n当且仅当对所有模N和所有k>n，Torₖᴿ(M,N) = 0。这提供了计算模的投射维数的方法。

模的Tor函子我们先从模的张量积概念开始。设R是一个环，M和N是右R-模和左R-模。它们的张量积M⊗₍R₎N是一个阿贝尔群，通过将形式乘积m⊗n(m∈M, n∈N)进行双线性关系商掉而得到。这个构造是函子性的：给定模同态f:M→M'，我们得到同态f⊗id: M⊗N → M'⊗N。一个重要观察是：张量积函子-⊗N不一定是正合的。具体来说，如果0→A→B→C→0是正合序列，那么经过-⊗N作用后，我们只能得到正合序列A⊗N → B⊗N → C⊗N → 0，但第一个映射不一定单。这引出了平坦模的概念：如果-⊗N是正合函子，则称N是平坦模。为了测量一个模偏离平坦模的程度，我们引入Tor函子。固定一个模N，对任意模M，取它的一个投射分解：... → P₁ → P₀ → M → 0，其中所有Pᵢ是投射模。去掉M项后，与N作张量积得到复形：... → P₁⊗N → P₀⊗N → 0。 Tor函子定义为这个复形的同调群：Torₙᴿ(M,N) = Hₙ(Pₖ⊗N)。可以证明这个定义与投射分解的选择无关。特别地，Tor₀ᴿ(M,N) ≅ M⊗N。 Tor函子具有重要的对称性：Torₙᴿ(M,N) ≅ Torₙᴿ(N,M)。这意味着我们也可以用N的投射分解来计算Tor函子。这种对称性反映了张量积运算的内在对称性质。在计算中，Tor函子有一个重要性质：如果N是平坦模，那么对所有n>0，Torₙᴿ(M,N) = 0。特别地，投射模和平坦模都有这个性质。这个性质可以用来检测模的平坦性。 Tor函子在交换代数中有重要应用。例如，如果R是诺特环，M是有限生成R-模，那么M是平坦模当且仅当对所有极大理想m，Tor₁ᴿ(M,R/m) = 0。这给出了平坦性的一个实用判别法。在正则环上，Tor函子与模的投射维数有密切联系。一个模M的投射维数不超过n当且仅当对所有模N和所有k>n，Torₖᴿ(M,N) = 0。这提供了计算模的投射维数的方法。