二次型的自守形式的傅里叶系数与表数问题 二次型与表数问题的回顾 二次型是形如 \( Q(x_ 1, \dots, x_ n) = \sum_ {i \le j} a_ {ij} x_ i x_ j \) 的多项式，其中 \( a_ {ij} \in \mathbb{Z} \)。表数问题研究一个整数 \( m \) 能否被 \( Q \) 表示，即是否存在整向量 \( \mathbf{x} \) 使得 \( Q(\mathbf{x}) = m \)。例如，平方和问题 \( x^2 + y^2 = m \) 是经典案例。 自守形式与二次型的联系 通过构造 Theta 级数 \( \Theta_ Q(z) = \sum_ {\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n} e^{2\pi i Q(\mathbf{x}) z} \)，可将二次型与模形式关联。当 \( Q \) 正定且偶时，\( \Theta_ Q(z) \) 是权为 \( n/2 \) 的模形式。其傅里叶展开为： \[ \Theta_ Q(z) = \sum_ {m \ge 0} r_ Q(m) e^{2\pi i m z}, \] 其中系数 \( r_ Q(m) \) 表示方程 \( Q(\mathbf{x}) = m \) 的整数解数，即 表数 。 傅里叶系数的解析结构 艾森斯坦级数贡献 ：\( \Theta_ Q(z) \) 可分解为艾森斯坦级数 \( E(z) \) 与尖形式 \( f(z) \) 的和。艾森斯坦级数的傅里叶系数对应表数的 平均行为 ，例如对于二元二次型 \( x^2 + y^2 \)，\( r_ Q(m) \) 的平均值由除数函数决定。 尖形式贡献 ：尖形式的傅里叶系数 \( a_ f(m) \) 刻画表数的 振荡误差 。例如，\( r_ Q(m) = \rho_ Q(m) + a_ f(m) \)，其中 \( \rho_ Q(m) \) 是主项（来自艾森斯坦级数），\( a_ f(m) \) 需通过模形式的深层次性质估计。 表数问题的精确公式与逼近 圆法与模形式 ：哈代-拉马努金圆法通过分析积分 \( \int_ 0^1 \Theta_ Q(z) e^{-2\pi i m z} dz \) 给出表数的渐近公式。模形式的变换性质保证了计算的可行性。 示例 ：对于四平方和问题 \( x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = m \)，雅可比公式给出 \( r_ Q(m) = 8 \sum_ {d \mid m, 4 \nmid d} d \)，这本质是模形式 \( \Theta_ Q(z) \) 作为艾森斯坦级数的显式表达式。 自守形式与朗兰兹纲领的延伸 在朗兰兹纲领下，二次型的自守形式关联于 自守表示 。其傅里叶系数 \( a_ f(m) \) 可通过 L 函数 的解析性质研究，例如： 拉马努金-彼得森猜想 ：对权 \( k \) 的尖形式，\( |a_ f(m)| \ll m^{(k-1)/2} \)，这直接给出表数误差项的上界 \( r_ Q(m) - \rho_ Q(m) \ll m^{n/4 - 1/2} \)。 BSD 猜想的类比 ：对于椭圆曲线相关的二次型，表数公式可能关联于 L 函数的特殊值，如伯奇-斯温纳顿-戴尔猜想中的秩信息。 现代应用与未解问题 例外整数与局部-全局原理 ：哈塞-闵可夫斯基定理的失效情形（如 \( x^2 + y^2 + z^2 \) 不能表示 \( m = 4^a(8b+7) \)）可通过模形式的尖形式分量解释。 塞尔伯格迹公式 ：用于计算特定二次型的表数生成函数，关联于四元数代数上的自守形式。 开放问题 ：确定一般二次型表数的精确公式（如三平方和问题中 \( m \not\equiv 0,4,7 \pmod{8} \) 的证明），仍需结合自守表示与代数数论的更深工具。